1 reply to this topic

[phamquanglam]

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $abc=1$

CMR: $\frac{1}{(a+2)(a+1)}+\frac{1}{(b+2)(b+1)}+\frac{1}{(c+2)(c+1)}\geq \frac{1}{2}$

[HoangHungChelski]

Lời giải:
Từ giả thiết $abc=1\Rightarrow$ Đặt $(a,b,c)=\left ( \frac{yz}{x^2};\frac{zx}{y^2};\frac{zy}{z^2} \right )$
Qua biến đổi sơ cấp:
$$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{x^4}{(2x^2+yz)(x^2+yz)}\geq \frac{1}{2}$$
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy-Schwarz}$:
$$VT\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum (2x^2+yz)(x^2+yz)}$$
Ta phải CM: 
$$2(x^2+y^2+z^2)^2\geq \sum (2x^2+yz)(x^2+yz)\Leftrightarrow \sum x^2y^2\geq xyz(x+y+z)$$ (đúng)
Vậy BĐT được CM, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\blacksquare$

Edited by HoangHungChelski, 03-08-2014 - 09:14.