Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $abc=1$
CMR: $\frac{1}{(a+2)(a+1)}+\frac{1}{(b+2)(b+1)}+\frac{1}{(c+2)(c+1)}\geq \frac{1}{2}$
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $abc=1$
CMR: $\frac{1}{(a+2)(a+1)}+\frac{1}{(b+2)(b+1)}+\frac{1}{(c+2)(c+1)}\geq \frac{1}{2}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Lời giải:
Từ giả thiết $abc=1\Rightarrow$ Đặt $(a,b,c)=\left ( \frac{yz}{x^2};\frac{zx}{y^2};\frac{zy}{z^2} \right )$
Qua biến đổi sơ cấp:
$$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{x^4}{(2x^2+yz)(x^2+yz)}\geq \frac{1}{2}$$
Áp dụng BĐT $\text{Cauchy-Schwarz}$:
$$VT\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum (2x^2+yz)(x^2+yz)}$$
Ta phải CM:
$$2(x^2+y^2+z^2)^2\geq \sum (2x^2+yz)(x^2+yz)\Leftrightarrow \sum x^2y^2\geq xyz(x+y+z)$$ (đúng)
Vậy BĐT được CM, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 03-08-2014 - 09:14
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh