3 replies to this topic

[epicwarhd]

cho x,y,z dương,x+y+z≥12.Tìm giá trị nhỏ nhất của  P=x/√y+y/√z+z/√x

giải giúp em bài này vs

@Sieusieu90: Tiêu đề không đúng quy định . Lock topic! Bạn phải gõ latex nhé!

Edited by sieusieu90, 05-08-2014 - 21:16.

[Shironeko]

x, y, z >0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$P.(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})\geq (x+y+z)^{2}$

và

$\frac{(x+y+z)^{3}}{3}\geq (x+y+z).(xy+yz+zx)\geq (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}$

$\Leftrightarrow P.\sqrt{\frac{(x+y+z)^{3}}{3}}\geq P.(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})\geq (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow P\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{3.12}=6$

Vậy, min$P=6 \Leftrightarrow x=y=z=4$

Edited by Shironeko, 02-08-2014 - 10:24.

[Mikhail Leptchinski]

 

x, y, z >0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$P.(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})\geq (x+y+z)^{2}$

và

$\frac{(x+y+z)^{3}}{3}\geq (x+y+z).(xy+yz+zx)\geq (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}$

$\Leftrightarrow P.\sqrt{\frac{(x+y+z)^{3}}{3}}\geq P.(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})\geq (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow P\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{3.12}=6$

Vậy, min$P=6 \Leftrightarrow x=y=z=4$

 

Bạn giải nhầm ở đâu rồi.Bạn thử thay x=y=z=4 xem min có phải ra 6 không??

[dogsteven]

Cách khác:

 

Đặt $t=x+y+z\ge 12$

 

$P=\sum \dfrac{4x}{2\sqrt{4.y}} \ge \sum \dfrac{4x^2}{xy+4x} \ge \dfrac{4(\sum x)^2}{\sum xy+4\sum x} \ge \dfrac{4t^2}{\dfrac{1}{3}t^2+4t}$

 

$\dfrac{t^2+12t}{12t^2}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{t} \le \dfrac{1}{6}$

 

Vậy $P\ge 6$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=4$

Edited by dogsteven, 02-08-2014 - 12:41.