Chủ đề này có 1 trả lời

[Johan Liebert]

Cho x là số thực sao cho $x^3-x$ và $x^4-x$ là số nguyên. Chứng minh x là số nguyên

[Rias Gremory]

Cho x là số thực sao cho $x^3-x$ và $x^4-x$ là số nguyên. Chứng minh x là số nguyên

Giả sử  $x^3 – x = a (1), $x^4 – x = b (2)%. Nếu $a$ hoặc $b$ bằng $0$ thì suy ra $x = 0, x=-1$ hoặc $x = 1$. Như vậy $x$ là số nguyên. Giả sử $a, b$ khác $0$. Chia (2) cho (1), ta có

            $\frac{b}{a}=\frac{x^4-x}{x^3-x}=\frac{x^2+x+1}{x+1}$

Từ đó suy ra   $ax^2 + (a-b)x + a - b = 0$                     (3)

Mặt khác, lấy (2) trừ cho (1) nhân với x, ta được

            $b - ax = x^4 - x - x(x^3 - x)$

$\Leftrightarrow x^2 = b + (1-a)x$

Thay vào (3), ta được

            $a(b + (1-a)x) + (a-b)x + a - b = 0$

Suy ra

            $(a^2 - 2a + b)x + ab + a - b = 0$

Như vậy có hai khả năng xảy ra

            + Hoặc $a^2 - 2a + b = 0$ và $ab+ a - b = 0$

            + Hoặc $x$ là số hữu tỷ