Chủ đề này có 2 trả lời

[sieumatral]

Cho p là một số nguyên tố. Tìm p sao cho $\sqrt{1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}}$ là một số hữu tỉ

[Riann levil]

$\sqrt{1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}}\epsilon \mathbb{Q}\Leftrightarrow \1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4} = a^{2}(a\epsilon \mathbb{Z})\Leftrightarrow \4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4} = 4a^{2}.$.

Mặt khác : $[p(2p+1)]^{2}< 4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4}<[p(2p+1)+2]^{2}\Rightarrow \[p(2p+1)]^{2}< (2a)^{2}<[p(2p+1)+2]^{2}\Rightarrow (2a)^{2}=[p(2p+1)+1]^{2}\Rightarrow p=3 (vì p nguyên tố)$

[Bui Ba Anh]

trước hết ta biện luận rằng với mọi số nguyên không âm thì căn bậc 2 của nó chỉ có thể là số nguyên hoặc số vô tỷ

từ đó đi đến đơn giản bài toán là $tìm p thỏa 1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}=y^{2}

ta có:$4y^{2}=4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4}=(2p^{2}+p)^{2}+3p^{2}+4p+4=(2p^{2}+p+1)^{2}$

$3p^{2}+4p+4>0 =>4y^{2}>(2p^{2}+p)^{2}$

nếu $3-p^{2}+2p<0 => 4y^{2}<(2p^{2}+p+1)^{2}$(vô nghiệm)

vậy $3-p^{2}+2p\geq 0=> -1\leq p\leq 3$

với phép thử trực tiếp,ta có p=3