Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$
$\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$
Bắt đầu bởi sieumatral, 02-08-2014 - 21:05
#2
Đã gửi 03-08-2014 - 10:00
Near Ryuzaki
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
$\mathbb{NKT}$
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$
$\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên.
Từ đó suy ra $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=2+\frac{b+a}{ab}$ là số nguyên , suy ra $a+b \vdots ab\Rightarrow a+b\geq ab(1)$
Mà $d$ là ước chung của $a$ và $b$ ta có : $a\geq d,b\geq d\Rightarrow ab\geq d^2(2)$
Từ (1) và (2) ta có đpcm !
- sieumatral yêu thích
#3
Đã gửi 03-08-2014 - 10:11
Mikhail Leptchinski
-
- Thành viên
-
- 703 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$
Ta có $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=\frac{ab+a+b+ab}{ab}=2+\frac{a+b}{ab}$ là số nguyên
suy ra $\frac{a+b}{ab}$ là số nguyên với $a,b>0$
nên $\frac{a+b}{ab}\geq 1=>a+b\geq ab$
Do $d$ là ước của $a$ nên $a\vdots d$ $=>a\geq d>0$
$d$ là ước của $b$ nên $b\vdots d$ $=>b\geq d>0$
suy ra $ab\geq d^2$ nên $a+b\geq d^2$
suy ra điều phải chứng minh
Bài toán là bài thi của chuyên KHTN
- sieumatral và VuDucTung thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
