2 replies to this topic

[sieumatral]

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

[Near Ryuzaki]

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

$\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên.
Từ đó suy ra $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=2+\frac{b+a}{ab}$ là số nguyên , suy ra $a+b \vdots ab\Rightarrow a+b\geq ab(1)$

Mà $d$ là ước chung của $a$ và $b$ ta có : $a\geq d,b\geq d\Rightarrow ab\geq d^2(2)$

Từ (1) và (2) ta có đpcm ! 

[Mikhail Leptchinski]

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Ta có $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=\frac{ab+a+b+ab}{ab}=2+\frac{a+b}{ab}$ là số nguyên 

suy ra $\frac{a+b}{ab}$ là số nguyên với $a,b>0$

nên $\frac{a+b}{ab}\geq 1=>a+b\geq ab$

Do $d$ là ước của $a$ nên $a\vdots d$ $=>a\geq d>0$

$d$ là ước của $b$ nên $b\vdots d$ $=>b\geq d>0$

suy ra $ab\geq d^2$ nên $a+b\geq d^2$

suy ra điều phải chứng minh

 

Bài toán là bài thi của chuyên KHTN