3 replies to this topic

[I Love MC]

1/Choo a,b,c>0 thoả mãn abc=1

c/m  $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}$+$\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}$+

+$\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ < $\dfrac{1}{2}$

2/ CHo abc=1 và $a^3>36$

c/m $\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

[quangnghia]

 

1/Choo a,b,c>0 thoả mãn abc=1

c/m  $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}$+$\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}$+

+$\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ < $\dfrac{1}{2}$

2/ CHo abc=1 và $a^3>36$

c/m $\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

 

bài 2 $\frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}-2bc> a(b+c)+bc$

$\Rightarrow (b+c)^{2}-a(b+c)+\frac{a^{2}}{3}-3bc> 0$

$\Delta = a^{2}-4(\frac{a^{2}}{3}-3bc)=-\frac{a^{2}}{3}+12bc=-\frac{a^{2}}{3}+\frac{12}{a}=\frac{36-a^{3}}{3a}< 0$

vậy đa thức nhỏ hơn 0 là đúng

Mình đã sữ dụng 1 lý thuyết: nếu $f(x)$ có denta bé hơn 0 thì f(x) trái dấu với a ( a là hệ số của $x^{2}$ )

Edited by quangnghia, 03-08-2014 - 14:04.

[killerdark68]

 

1/Choo a,b,c>0 thoả mãn abc=1

c/m  $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}$+$\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}$+

+$\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ < $\dfrac{1}{2}$

2/ CHo abc=1 và $a^3>36$

c/m $\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

 

1/$VT\Leftrightarrow\sum \frac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2}\leq \sum \frac{1}{2ab+2b+2}\leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{ab+b+1}\leq 1$ (1)

Vì abc=1 (gt):

ta có $\frac{1}{ab+b+1}=\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}=\frac{ac}{ac+a+1}$

Lại có $\frac{1}{bc+c+1}=\frac{a}{abc+ac+b}=\frac{a}{1+a+ac}$

suy ra (1)

Edited by killerdark68, 03-08-2014 - 14:59.

[killerdark68]

2/bdt chứng minh $\Leftrightarrow \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}+b^2+c^2-(\sum ab)$$\geq 0$

                              $\Leftrightarrow (\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab-ac+2bc)+\frac{a^2}{12}-3bc\geq 0$   

                               $\Leftrightarrow (\frac{a^2}{2}-b-c)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}\geq 0$ là bdt đúng

       vì abc=1:a³>36 nên a³-36abc>0 suy ra dpcm