Chủ đề này có 5 trả lời

[Thao Meo]

1)Cho x,y,z thỏa mãn xyz=1
CMR : $\frac{1}{x^{3}(y+z)} + \frac{1}{y^{3}(x+z)}+ \frac{1}{z^{3}(x+y)} \geq \frac{3}{2}$
2) Cho a+b = 5ab . CMR : 
$\frac{19a+1}{5a-1} + \frac{19b+1}{5b-1} \geq \frac{86}{5}$

3) Cho a, b, c không âm thỏa mãn a²+b²+c²=1
CMR : a) $a+b+c \leq 2abc + \sqrt{2}$
           b) $\frac{a}{b^{2}+c^{2}} + \frac{b}{a^{2}+c^{2}}+ \frac{c}{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[ductai202]

bài 1: Áp dụng bdt schwartz thì $\sum \frac{1}{x^{3}(y+z)}\geq \sum \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}$(1) ( vì xyz=1)

mà theo bdt AM-GM  $(xy+yz+zx)\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3$(vì xyz=1) nên từ (1) $\Rightarrow$ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai202: 05-08-2014 - 11:27

[ductai202]

bài 2: theo mình thì bài này a,b phải $\geq$ 0. Áp dụng bdt AM-GM cho 2 sô  không âm $\Rightarrow$ a+b $\geq 2\sqrt{ab}$, mà 5ab=a+b(gt) nên $\Rightarrow$ 5ab $\geq 2\sqrt{ab}$,$\Rightarrow ab\geq \frac{4}{25}$. Mặt khác ta quy đồng tổng 2 phân thức cần c/m và rút gọn thì còn 120ab-2 $\geq 120.\frac{4}{25}-2=\frac{86}{5}$.Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=\frac{2}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai202: 05-08-2014 - 17:36

[ductai202]

bài 3:

a, ta cần c/m $\left ( a+b+c-2abc \right )^{2}\leq 2$

ta có 1=$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}+2bc\geq 2bc\Rightarrow 1-2bc\geq 0$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}+2bc\geq 2bc\Rightarrow 1-2bc\geq 0$ (*).Dễ thấy $\left ( a+b+c-2abc \right )^{2}=\left [ a\left ( 1-2bc \right )+\left ( b+c \right ) \right ]^{2}$.Áp dụng bđt bunhia ta có

$(a+b+c-2abc)^{2}\leq \left [ a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\right]\left [ \left ( 1-2bc \right )^{2} +1\right ]\left ( 1 \right )$

vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ nên $\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow \left ( a+b+c-2abc \right )^{2} \leq \left ( 1+2bc \right )\left ( 2-4bc+4b^{2}c^{2} \right )\left ( 2 \right )$. Do $\left ( 1+2bc \right )\left ( 2-4bc+4b^{2} c^{2}\right )=2-4b^{2}c^{2}\left ( 1-2bc \right )$$\left ( 1+2bc \right )\left ( 2-4bc+4b^{2} c^{2}\right )=2-4b^{2}c^{2}\left ( 1-2bc \right )$. Từ (*)$\Rightarrow 4b^{2}c^{2}\left ( 1-2bc \right )\geq 0$.Do đó $\left ( 1+2bc \right )\left ( 2-4bc-4b^{2}c^{2} \right )\leq 2$$\left ( 1+2bc \right )\left ( 2-4bc-4b^{2}c^{2} \right )\leq 2$. Từ (2) ta có $\left ( a+b+c-2abc \right )^{2}\leq 2 \Leftrightarrow a+b+c\leq 2abc +\sqrt{2}$(dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai202: 06-08-2014 - 20:55

[ductai202]

bài 3

b, $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\left ( 1 \right )$

$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \sum \frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a\left ( 1-a^{2} \right )}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Ta sẽ c/m $\frac{a^{2}}{a\left ( 1-a^{2} \right )}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2} \Leftrightarrow a^{2}\left ( 1-a \right )^{2}\leq \frac{4}{27}$. Ta có :$a^{2}\left ( 1-a \right )^{2}= \frac{1}{2}\left ( 2a^{2} \right )\left ( 1-a^{2} \right )\left ( 1-a^{2} \right )\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{2a^{2}+\left ( 1-a^{2} \right )+\left ( 1-a^{2} \right )}{3} \right ]^{3}=\frac{4}{27}$

Tương tự $\frac{b^{2}}{b\left ( 1-b^{2} \right )}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}b^{2} ; \frac{c^{2}}{c\left ( 1-c^{2} \right )}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}c^{2}$. Do đó $\sum \frac{a^{2}}{a\left ( 1-a^{2} \right )}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \left ( 1 \right )$ đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai202: 06-08-2014 - 21:03

[KietLW9]

2) Cho a+b = 5ab . CMR : 
$\frac{19a+1}{5a-1} + \frac{19b+1}{5b-1} \geq \frac{86}{5}$

Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y$ thì $x+y=5$ và ta cần chứng minh: $\frac{19+x}{5-x}+\frac{19+y}{5-y}\geqslant \frac{86}{5}$

Ta có: $\frac{19+x}{5-x}-\frac{96x-25}{25}=\frac{24(2x-5)^2}{25(5-x)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{19+x}{5-x}\geqslant \frac{96x-25}{25}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{19+x}{5-x}+\frac{19+y}{5-y}\geqslant \frac{96(x+y)-50}{25}=\frac{86}{25}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{2}{5}$