2 replies to this topic

[I Love MC]

Cho $a,b \in Z$ thỏa mãn : $5a^2+15ab-b^2$ chia hết cho 49. Chứng minh $3a+b$ chia hết cho 7.

[gatoanhoc1998]

Ta có:

$7/49a^{2}+21ab+7b^{2}\Rightarrow 7/6(3a+b)^{2}-(5a^{2}+15ab-b^{2})\Rightarrow 7/6(3a+b)^{2}$

Mà (6;7)=1 và 7 là số nguyên tố nên $7/(3a+b)^{2}\Rightarrow 7/3a+b$(dpcm)

[Bui Ba Anh]

ta có:$5a^{2}+15ab-b^{2}=7(a^{2}+ab+b^{2})-2(a-2b)^{2}$

vì $5a^{2}+15ab-b^{2}\vdots 49\vdots 7 ;7(a^{2}+ab+b^{2})\vdots 7$

suy ra $(a-2b)^{2}\vdots 7=> a-2b\vdots 7(1)=> (a-2b)^{2}\vdots 49$

$=> a^{2}+ab+b^{2}\vdots 7(2)$

mà từ (1) ta cũng suy ra$a(a-2b)\vdots 7 => a^{2}-2ab \vdots 7(3)$

trừ vế theo vế của (2) cho (3) =>$b(3a+b)\vdots 7$

đến đây xét: b chia hết cho 7,từ (1) suy ra a chia hết cho 7,ta có đpcm

nếu b không chia hết cho 7 thì hiễn nhiên có đpcm