Chủ đề này có 7 trả lời

[nmtuan2001]

Mình xin giới thiệu với các bạn một số HĐT để giải các bài toán biến đổi biểu thức đại số:

$\boxed{\text{1}}$ Các HĐT cơ bản (tại đây)

Bài tập:

1. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$

2. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)$

3. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^5(b^2+c^2)+b^5(c^2+a^2)+c^5(a^2+b^2)=\frac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)(a^4+b^4+c^4)$

4. Cho $S_{n}=\frac{(a-b)^n+(b-c)^n+(c-a)^n}{n}$. Chứng minh $S_{5}=S_{3}.S_{2}$ 

5. Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Tính giá trị của biểu thức:

$$A=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}$$

6. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh

$$a(b^2-1)(c^2-1)+b(c^2-1)(a^2-1)+c(a^2-1)(b^2-1)=4abc$$

7. Đặt $m_{1}=\frac{a+b}{a-b}, m_{2}=\frac{c+d}{c-d}, m_{3}=\frac{ac-bd}{ad+bc}$. Chứng minh rằng:

$$m_{1}+m_{2}+m_{3}=m_{1}.m_{2}.m_{3}$$

8. Tính $A=(a^3+b^3-a^3b^3)^3+27a^6b^6$ biết $a+b=ab$

9. Cho $a+b+c+d=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3+d^3=3(ab-cd)(c+d)$

10. Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=a \\ x^2+y^2+z^2=b^2 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{c} \end{matrix}\right.$. Tính $x^3+y^3+z^3$ theo $a,b,c$

11. Cho $a,b,c$ là 3 số phân biệt. Tính $P=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

12. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^7+b^7+c^7=7abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

 

$\boxed{\text{2}}$ $(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)$

13. Chứng minh HĐT trên

14. Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a+b+c \vdots 4$. Chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)-abc \vdots 4$

15. Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}a+b+c=d \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất 1 số bằng $d$

16. Cho $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}(x+y)(x+z)=bcyz \\ (y+z)(y+x)=cazx \\ (z+x)(z+y)=abxy \end{matrix}\right.$. Chứng minh $a+b+c=abc \pm 2$

17. Chứng minh rằng: Nếu $\left\{\begin{matrix}xy(x+y)=c \\ yz(y+z)=a \\ zx(z+x)=b \\ xyz=d \end{matrix}\right.$ thì $a+b+c+2d=\frac{abc}{d^2}$ 

P/s: Hơi dài!  :Các bạn có bài nào hay thì gửi lên nhé (nhớ đánh STT). Bài nào có lời giải đúng mình sẽ tô xanh.  

Còn nữa...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-08-2014 - 13:12

[gatoanhoc1998]

câu 5:

$\sum \frac{1}{a}=0\Rightarrow \sum ab=0$

Do đó:

$A=\frac{\sum a^{3}b^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$

[CHU HOANG TRUNG]

 

Mình xin giới thiệu với các bạn một số HĐT để giải các bài toán biến đổi biểu thức đại số:

$\boxed{\text{1}}$ Các HĐT cơ bản (tại đây)

Bài tập:

1. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$

 

Bài 1/ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=\left [ (a+b)^3+c^3 \right ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)\left [ (a+b)^2-(a+b)c+c^2 \right ]-3ab(a+b+c)=0$

Do $ a+b+c=0$ Vậy $\Rightarrow đpcm$

[CHU HOANG TRUNG]

 

Mình xin giới thiệu với các bạn một số HĐT để giải các bài toán biến đổi biểu thức đại số:

$\boxed{\text{1}}$ Các HĐT cơ bản (tại đây)

Bài tập:

1. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$

2. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)$

 

 

Bài 2/ Theo kết quả bài 1 có $a+b+c=0$ =>$a^3+b^3+c^3=3abc$

$\Leftrightarrow 3abc(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=\sum a^5+\sum a^3(b^2+c^2)$

Lại có $b+c=-a$$\Rightarrow b^2+c^2-2bc=a^2-2bc$

Chứng minh tương tự ta được 

$\Rightarrow 3abc(a^2+b^2+c^2)=\sum a^5+\sum a^3(a^2-2bc)=2\sum a^5-2abc\sum a^2$

Vậy $ Rightarrow $  điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 03-08-2014 - 22:26

[CHU HOANG TRUNG]

 

Mình xin giới thiệu với các bạn một số HĐT để giải các bài toán biến đổi biểu thức đại số:

$\boxed{\text{1}}$ Các HĐT cơ bản (tại đây)

Bài tập:

1. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$

2. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)$

 

Bài 2 / Cách 2 :

$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Leftrightarrow (a+b)^5=-c^5\Leftrightarrow a^5+b^5+5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)=-c^5\Rightarrow a^5+b^5+c^5=-5ab\left [ (a+b)(a^2+b^2-ab)+2ab(a+b) \right ]=-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)\Rightarrow 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(2a^2+2b^2+2ab)=5abc\left [a^2+b^2+(a+b^2) \right ]=5abc(a^2+b^2+c^2)$

Vậy $Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 03-08-2014 - 22:27

[Namthemaster1234]

4.Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=-(x+y)$. Ta có

$S_{5}=\frac{x^5+y^5-(x+y)^5}{5}= -(x^4y+2x^3y^2+2x^3y^3+y^4x$)

Tương tự ta có

$S_{3}= -(x^2y+xy^2) ; S_{2}=x^2+y^2+xy$

Ta thấy $S_{5}=S_{2}.S_{3}$ là đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 05-08-2014 - 09:01

[nmtuan2001]

4.Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=-(x+y)$. Ta có

$S_{5}=\frac{x^5+y^5-(x+y)^5}{5}= -(x^4y+2x^3y^2+2x^3y^3+y^4x$)

Tương tự ta có

$S_{3}= -(x^2y+xy^2) ; S_{2}=x^2+y^2+xy$

Ta thấy $S_{5}=S_{2}.S_{3}$ là đúng

Mình không biết sai ở đâu nhưng mình thấy ko dùng gt a+b+c=0

Sorry, đánh nhầm.  Không có gt $a+b+c=0$ đâu. 

Mà bạn thử giải bằng kết quả của bài 2 đi, ta có $x+y+z=0$ mà.

[Namthemaster1234]

11.$P=\frac{a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\frac{(c-a)(b-c)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=1$