Chủ đề này có 7 trả lời

[Rias Gremory]

Trại Hè Phương Nam 2014

Olympic toán học 

Thời gian làm bài : $120$ phút

Câu 1. Cho bộ gồm $8$ số $D=\begin{Bmatrix}T,R,A,I,H,E,P,N\end{Bmatrix}$ và $T=\begin{Bmatrix}\dfrac{T+R}{2},\dfrac{R+A}{2},\dfrac{A+I}{2},\dfrac{I+H}{2},\dfrac{H+E}{2},\dfrac{E+P}{2},\dfrac{P+N}{2},\dfrac{N+T}{2}\end{Bmatrix}$ là một hoán vị của $D.$ Biết rằng $T+R+A+I+H+E+P+N=2014.$ Hãy xác định các giá trị của $N.$
Câu 2. Giải phương trình: $$x^2+x-3=\sqrt{3-2x}$$

Câu 3. Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{12-2x^2}=4+y\\\sqrt{1-2y-y^2}=5-2x \end{matrix}\right.$$

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Phân giác trong của góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $A_1$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $A_2.$ Tương tự ta thu được cái điểm $B_1,B_2,C_1,C_2$ tương ứng.  Chứng minh rằng : 

$$\frac{A_1A_2}{BA_2+A_2C}+\frac{B_1B_2}{CB_2+B_2A}+\frac{C_1C_2}{AC_2+C_2B}\geq \frac{3}{4}$$

Câu 5, Cho số nguyên tố có $4$ chữ số $p=\overline{abcd}.$ Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên.

------------Hết-------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 04-08-2014 - 21:30

[chardhdmovies]

3,

 

[chardhdmovies]

2,

ta có $(-x)^2-x=3-2x+\sqrt{3-2x}$

tới đây đặt ẩn hoặc xét hàm $f(t)=t^2+t$ là được

[Near Ryuzaki]

 

 

Nhác đánh quá , nhờ ai rảnh đánh giùm

Trại Hè Phương Nam 2014

Olympic toán học 

Thời gian làm bài : $120$ phút

Câu 1. Cho bộ gồm $8$ số $D=\begin{Bmatrix}T,R,A,I,H,E,P,N\end{Bmatrix}$ và $T=\begin{Bmatrix}\dfrac{T+R}{2},\dfrac{R+A}{2},\dfrac{A+I}{2},\dfrac{I+H}{2},\dfrac{H+E}{2},\dfrac{E+P}{2},\dfrac{P+N}{2},\dfrac{N+T}{2}\end{Bmatrix}$ là một hoán vị của $D.$ Biết rằng $T+R+A+I+H+E+P+N=2014.$ Hãy xác định các giá trị của $N.$
Câu 2. Giải phương trình: $$x^2+x-3=\sqrt{3-2x}$$

Câu 3. Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{12-2x^2}=4+y\\\sqrt{1-2y-y^2}=5-2x \end{matrix}\right.$$

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Phân giác trong của góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $A_1$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $A_2.$ Tương tự ta thu được cái điểm $B_1,B_2,C_1,C_2$ tương ứng.  Chứng minh rằng : 

$$\frac{A_1A_2}{BA_2+A_2C}+\frac{B_1B_2}{CB_2+B_2A}+\frac{C_1C_2}{AC_2+C_2B}\geq \frac{3}{4}$$

Câu 5, Cho số nguyên tố có $4$ chữ số $p=\overline{abcd}.$ Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên.

------------Hết-------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 04-08-2014 - 20:23

[Trung Gauss]

câu 4 khá giống ý tưởng với bài APMO 1997

[dinhnguyenhoangkim]

Ai giúp mình câu 5 với ?

[nntien]

 

Ai giúp mình câu 5 với ?

 

 

Giả sử $P(x)=(ex+f)(gx^2+hx+i)=egx^3+(fg+eh)x^2+(fh+ei)x+fi$ (*). Từ đó ta suy ra: $e,g$ cùng dấu, $0<|e|,|g|<10$ và $f,i$ cùng dấu, $0<|f|,|i|<10$

Mặt khác ta có: $p=P(10)=(10e+f)(100g+10h+i)$, vì $p$ là số nguyên tố và theo trên ta suy ra $10e+f=1$ hay $10e+f=-1$ 

Không mất tính tổng quát ra giả sử: $e>0$, ta suy ra $f<0$ (vì nếu $f>0$ thì khi đó một số có hai chữ số không thể là 1 hay -1)

Xét $10e+f=1$ => $e=1, f=-9$=>$i=-1$ từ (*) ta suy ra: $h-9g>0$, $-9h-1>0$ vô lý

Xét $10e+f=-1$ => $10e+1=-f>10$ => vô lý.

Từ hai điều trên ra suy ra đpcm. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 04-10-2014 - 22:10

[dinhnguyenhoangkim]

hôm nay mới có thời gian vào diễn đàn

cảm ơn bạn