Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéBài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:
$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$
Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$
$\Rightarrow đpcm$
Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi
Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:
$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$
Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$
$\Rightarrow đpcm$
Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi
Sai nhé bạn dấu bằng xảy ra khi nào
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTa có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$
Mặt khác:
$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
do đó:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$
có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.
Dấu bang xảy ra khi a=b=c
đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$
có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.
Dấu bang xảy ra khi a=b=c
$\sum \frac{a}{b+c}$ mà bạn
Ta có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$
Mặt khác:
$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
do đó:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)
Giả thiết có cho đâu> còn TH $c\geq b\geq a, a\geq c\geq b,...$ thjì sao?
đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$
có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow
Ta có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$
Mặt khác:
$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
do đó:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)
\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.
Dấu bang xảy ra khi a=b=c
Bài toán không dễ đâu bạn nhé
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéCho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Sử dụng phép biến đổi tương đương ta có BĐT sau:
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$
Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$ thì BĐT trên đúng khi ta đưa về được: $(a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Mình có bình luận thế này bài toán này sai hoàn toàn nếu ko có đk của $a,b,c$ về tổng hoặc tích.
Giả sử: $a=3;b=4;c=5$ hoặc $a=5,b=6,c=7$ và .v.v... bài toán sai hoàn toàn
Muốn bài toán đúng thì mình có đk thế này $a+b+c=1$.
Các bạn thử làm xem.
P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 05-08-2014 - 16:56
Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Sử dụng phép biến đổi tương đương ta có BĐT sau:
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$
Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$ thì BĐT trên đúng khi ta đưa về được: $(a-b)(b-c)(a-c)\geq 0$
đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$
có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.
Dấu bang xảy ra khi a=b=c
Ta có:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$
Mặt khác:
$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$
do đó:
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)
Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:
$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$
Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$
$\Rightarrow đpcm$
Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi
Mình không biết các bạn chứng minh kiểu gì, nhưng rõ ràng BĐT sai như bạn datms07061999 đã chỉ ra.
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
Giả thiết có cho đâu> còn TH $c\geq b\geq a, a\geq c\geq b,...$ thjì sao?
Tất nhiên là người ra đề cho thiếu gt rồi.
Vì nếu mình không cho gt như vậy thì cũng phải có các gt tương tự để biến tích
(a-b)(b-c)(a-c) dương nếu không thì k thoả
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh