Chủ đề này có 2 trả lời

[Super Fields]

Bài toán:

 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ khác $0 ; 4$ thì : $3^{n} + 63$ không là số chính phương

[Mikhail Leptchinski]

 

Bài toán:

 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ khác $0 ; 4$ thì : $3^{n} + 63$ không là số chính phương

 

 

 

Đặt $3^n+63=a^2$($a$ là số tự nhiên)     (1)

Ta có:$a^2\equiv 0,1$(mod $4$)

             $63\equiv 3(mod 4)$

suy ra $$3^n\equiv 1(mod 4)$$

mà $3\equiv -1(mod 4)$ nên $n$ chẵn

Do đó đặt $n=2k$($k$ là số tự nhiên)

Phương trình (1) trở thành:$3^{2k}+63=a^2$

                                        $<=>(a-3k)(a+3k)=63$

đến đây giải phương trình ra $n=0,4$ suy ra điều phải chứng minh nhé

 

 

 

Đây là bài toán tuy chứng minh phương trình không tồn tại ngoài 2 nghiệm trên,nhưng thực chất bài toán chính là tìm ra nghiệm rồi chỉ ra phương trình chỉ tồn tại 2 nghiệm này thì biểu thức là số chính phương.Bài toán này theo mình cũng gọi là bài toán hay là sự kết hợp của số học + đại số

 

           

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungvu: 05-08-2014 - 17:46

[datmc07061999]

 

Bài toán:

 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ khác $0 ; 4$ thì : $3^{n} + 63$ không là số chính phương

 

Mình có cách khác hơi dài ...

+)Xét $n=2k \Rightarrow 3^{2k}+63=a^{2}\Leftrightarrow (a-3^{k})(a+3^{k})=63$.

Xét các trường hợp là ra $\left\{\begin{matrix} n=0 & & \\n=4 & & \end{matrix}\right.$.

+)Xét $n=2k+1\Rightarrow 3^{2k+1}+63=a^{2}\Rightarrow$ a chẵn mà $a\vdots 3\Rightarrow a=6x$.

Phương trình trở thành : $3^{2k+1}+63=36x^{2}\Leftrightarrow 3^{2k+1}\equiv 9(mod 36)\Rightarrow 3^{2k-1}\equiv 1(mod 36)\Rightarrow 3^{2k-1}=36t+1$.

Và từ $3^{2k+1}+63=36x^{2}\Rightarrow 3^{2k-1}+7=(2k)^{2}$ (vì k>0) hay $36t+1+7=(2k)^{2}$ Lại có $36t+8\equiv 2(mod 3)$

Mà số chính phương chia cho 3 không có số dư là 2. Với n lẻ pt vô nghiệm...

Vậy suy ra đpcm.

P/s: các bạn like ủng hộ mình nha...