Chủ đề này có 5 trả lời

[lethanhson2703]

1. Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $x+y=1$. CMR: $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 5$

2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$ . CMR $P= ab+bc+ca+a+b+c\leq 6$

[Viet Hoang 99]

1. Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $x+y=1$. CMR: $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 5$

2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$ . CMR $P= ab+bc+ca+a+b+c\leq 6$

$1)$

$8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 8.\frac{(x^2+y^2)^2}{2}+\frac{1}{\dfrac{(x+y)^2}{4}}\geq 8.\frac{\left ( \dfrac{(x+y)^2}{2} \right )^2}{2}+4=5$

[Yagami Raito]

1.Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $x^4+y^4\ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\ge \dfrac{(x+y)^4}{8}=\dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow 8(x^4+y^4) \ge 1$
mặt khác $\dfrac{1}{xy}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}=4$
Ta có đpcm.Dấu "=" khi $x=y=\dfrac{1}{2}$


2.Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$a^2+b^2\ge 2ab$
$a^2+1\ge 2a$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi suy ra $3(a^2+b^2+c^2)+3\ge 2(ab+bc+ca+a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c \le 6$
Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 06-08-2014 - 20:44

[huythcsminhtan]

$ab+bc+ac  \le a^2+b^2+c^2 =3$

 

$a+b+c \le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} = 3$

 

$ \rightarrow P \le 6$ 

 

Chắc thế

[datmc07061999]

1. Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $x+y=1$. CMR: $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 5$

2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$ . CMR $P= ab+bc+ca+a+b+c\leq 6$

Ta có các BĐT luôn đúng với mọi a,b,c 

$ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Rightarrow \left | a+b+c \right |\leq 9\Rightarrow -3\leq a+b+c\leq 3$.

Vậy $P\leq 6$ (đpcm) dấu "=" xảy ra $a=b=c=1$.

P/s : Các bạn like ủng hộ mình nha,,,

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 06-08-2014 - 20:45

[Namthemaster1234]

Đặt $x=\frac{1}{2}-a, y=\frac{1}{2}+a$

Do x >0 nên $a<\frac{1}{2}$

$8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 5<=>8xy(x^4+y^4)+1\geq 5xy<=>(\frac{1}{4}-a^2)(1+24a^2+16a^4)+1\geq 5(\frac{1}{4}-a^2)<=>\frac{5}{4}-16a^6-20a^4+5a^2\geq \frac{5}{4}-5a^2<=>-16a^6-20a^4+10a^2\geq 0 <=>16a^6-10a^2+20a^4\leq 0<=>a^2(6a^4+20a^2-10)\leq 0$

Mặt khác $a<\frac{1}{2}=>a^2(6a^4+20a^2-10)<0$ là đúng (Dấu bằng xảy ra khi a=0)

Vậy $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 5$

Dấu bằng <=> x=y=$\frac{1}{2}$