Chủ đề này có 2 trả lời

[bacninhquehuongtoi]

cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện $a^{2}+b^{2}=1$ và $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}= \frac{1}{b+d}$

chứng minh rằng $\frac{a^{2014}}{b^{1007}}+\frac{c^{2014}}{d^{1007}}= \frac{2}{\left ( b+d \right )^{1007}}$

 

[Kim Vu]

Thử đọc xem có hiểu không 

http://diendantoanho...007frac2bd1007/

[lehoangphuc1820]

cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện $a^{2}+c^{2}=1$ và $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}= \frac{1}{b+d}$

chứng minh rằng $\frac{a^{2014}}{b^{1007}}+\frac{c^{2014}}{d^{1007}}= \frac{2}{\left ( b+d \right )^{1007}}$

Đề phải là $a^2+c^2=1$ chứ bạn!

 

Ta có bđt $\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\geq \frac{(a+c)^2}{b+d}$

Dấu bằng khi $ad=bc$

Áp dụng ta có:$\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}\geq \frac{(a^2+c^2)^2}{b+d}=\frac{1}{b+d}$

Xảy ra dấu bằng khi $a^2d=c^2b\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}=\frac{c^2}{d}$

Từ kết quả trên ta có:

$a^2(b+d)=a^2b+a^2d=a^2b+c^2b=(a^2+c^2)b=b$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b}=\frac{1}{b+d}\Leftrightarrow 2(\frac{a^2}{b})^{1007}=2(\frac{1}{b+d})^{1007}\Leftrightarrow \frac{a^{2014}}{b^{1007}}+\frac{c^{2014}}{d^{1007}}= \frac{2}{\left ( b+d \right )^{1007}}$ (vì $\frac{a^2}{b}=\frac{c^2}{d}$)

Xong !