Chủ đề này có 2 trả lời

[Mirror282]

Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . CMR

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 08-08-2014 - 22:13

[lethanhson2703]

Vì $0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2\leq a,b^2\leq b,c^2\leq c$

Ta có : $a(1-b)\geq a^2(1-b); b(1-c)\geq b^2(1-c);c(1-a)\geq c^2(1-a)$ $\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)\leq a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$ $\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)\leq (a+b+c)-(ab+bc+ca)$

Mà $(1-a)(1-b)(1-c)+abc\geq 0\Rightarrow 1\geq (a+b+c)-(ab+bc+ca)$

Vậy $a^2+b^2+c^2\leq 1+a^2b+b^2c+c^2a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 08-08-2014 - 21:22

[quangnghia]

Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . CMR

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Ta có $(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\geq 0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-(abc)^{2}$ (1)

ta có $\left\{\begin{matrix} a^{2}b^{2}\leq a^{2}b & \\ b^{2}c^{2}\leq b^{2}c & \\ c^{2}a^{2}\leq c^{2}a & \\ -(abc)^{2}\leq 0 & \end{matrix}\right.$

Cộng 4 bdt trên ta suy được (1)