Chủ đề này có 1 trả lời

[Chris yang]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. CMR $\frac{1}{2}.C_{2p}^{p}-1\vdots p^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 09-08-2014 - 13:12

[iamnhl]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. CMR $\frac{1}{2}.C_{2p}^{p}-1\vdots p^2$

 Đề bài tương đương với $\frac{(2p-1)(2p-2)...(2p-p+1)-(p-1)!}{(p-1)!}$ chia hết cho $p^{2}$ 

 

Ta tổng quát bài toán : $\frac{(mp-1)(mp-2)...(mp-p+1)-(p-1)!}{(p-1)!}$ chia hết cho $p^{3}$

 

Ta phải chứng minh (mp-1)(mp-2)...(mp-p+1)-(p-1)! chia hết cho $p^{3}$

 

Mà $(mp-1)(mp-2)...(mp-p+1)-(p-1)!\equiv -mp(p-1)!.\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} + m^{2}.p^{2}.(p-1)!.\sum \frac{1}{i.j} (mod p^{3})$ 

 

Do $(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\equiv 0 (mod p^{2})$ và $(p-1)!.\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}\equiv 0 (mod p)$

 

Nên $mp.(p-1)!.\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\equiv 0 (mod p^{3})$ và $p^{2}.(p-1)!.\sum \frac{1}{i.j}=p^{2}.(p-1)!.\sum_{i=1}^{p-1}(\frac{1}{i}.(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k})-\frac{1}{i^{2}})\equiv 0 (mod p^3)$

 

Vậy ta có đpcm