Chủ đề này có 2 trả lời

[chieckhantiennu]

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh:

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$

[KietLW9]

Giả sử x = max{x,y,z} thì $\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 1$  

Ta xét bất đẳng thức: $\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leqslant (y+z)^2+1+\frac{1}{x^2+1}$ 

Nó tương đương với: $\frac{z(x^2z^3+2x^2yz^2+2yz^2+x^2y^2z+y^2z+2x^2z+z+2x^2y+2y)}{(x^2+1)(z^2+1)}\geqslant 0$ 

và $\frac{x^2+1}{y^2+1}\leqslant x^2+1$ 

Suy ra $VT\leqslant x^2+(y+z)^2 + \frac{1}{x^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-x)(1-3x-4x^3)}{2(x^2+1)}\leqslant 0$   *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 28-03-2021 - 17:24

[KietLW9]

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh:

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$

Hoặc:

Vì $x,y,z$ không âm và $x+y+z=1$ nên $0\leqslant x,y,z\leqslant 1\Rightarrow 1\leqslant x^2+1,y^2+1,z^2+1\leqslant 2$

Ta có: $\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}=[(x^2+1)-\frac{y^2(x^2+1)}{y^2+1}]+[(y^2+1)-\frac{z^2(y^2+1)}{z^2+1}]+[(z^2+1)-\frac{x^2(z^2+1)}{x^2+1}]\leqslant x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{2}\leqslant x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=\frac{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)}{2}+3\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{2}+3=\frac{7}{2}$