Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$
Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$
#1
Đã gửi 09-08-2014 - 22:20
#2
Đã gửi 09-08-2014 - 22:26
Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$
Ta có $a^{3}+a^{3}+1+b^{3}+b^{3}+1\geq 3a^{2}+3b^{2}$
$\Rightarrow 2a^{3}+1+2b^{3}+1\geq 3(a^{2}+b^{2})$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\leq 2$
- hoangmanhquan, SuperReshiram và duck donald thích
#3
Đã gửi 09-08-2014 - 22:33
Ta có $a^{3}+a^{3}+1+b^{3}+b^{3}+1\geq 3a^{2}+3b^{2}$
$\Rightarrow 2a^{3}+1+2b^{3}+1\geq 3(a^{2}+b^{2})$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\leq 2$
Cái đó là cauchy cho 3 số phải không ? Bài này giải bằng bunhiacopxki đc ko nhỉ
#4
Đã gửi 09-08-2014 - 22:35
#5
Đã gửi 09-08-2014 - 22:37
Đề sai nếu không có đk a;b không âm
VD: a=-1 thì $b=\sqrt[3]{3}$
Suy ra;
$a^2+b^2>2$
#6
Đã gửi 09-08-2014 - 22:42
Cái đó là cauchy cho 3 số phải không ? Bài này giải bằng bunhiacopxki đc ko nhỉ
bunha được nhưng a,b phải dương
- duck donald yêu thích
#7
Đã gửi 09-08-2014 - 22:45
bunha được nhưng a,b phải dương
uk cứ cho a,b >0 đi
Giải giúp mk bằng bunhiacopski
#8
Đã gửi 09-08-2014 - 22:52
Ta có $(a^{2}+b^{2})^{2}=(a\sqrt{a}\sqrt{a}+b\sqrt{b}\sqrt{b})^{2}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)\leq (a^{3}+b^{3})\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$
$\Rightarrow (a^{2}+b^{2})^{4}\leq (a^{3}+b^{3})^{2}.2(a^{2}+b^{2})$
Đến đây.......
- naruto01 và duck donald thích
#9
Đã gửi 09-08-2014 - 23:08
Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$
Theo $AM-GM$ ta có BĐT sau $a^3+b^3\geq ab(a+b)$$\Rightarrow 2=a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}\Leftrightarrow a+b\leq 2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$(a^2+b^2)^2=(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b})^2\leq (a^3+b^3)(a+b)\leq 2.2=4$
$\Rightarrow a^2+b^2\leq 2$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 09-08-2014 - 23:09
- duck donald yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#10
Đã gửi 10-08-2014 - 07:05
Ta có $(a^{2}+b^{2})^{2}=(a\sqrt{a}\sqrt{a}+b\sqrt{b}\sqrt{b})^{2}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)\leq (a^{3}+b^{3})\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$
$\Rightarrow (a^{2}+b^{2})^{4}\leq (a^{3}+b^{3})^{2}.2(a^{2}+b^{2})$
Đến đây.......
Sai~
$a,b$ thuộc $R$ nên chưa chắc có $\sqrt{a};\sqrt{b}$
- xxthieuongxx yêu thích
Chuyên Vĩnh Phúc
#11
Đã gửi 10-08-2014 - 08:53
Theo $AM-GM$ ta có BĐT sau $a^3+b^3\geq ab(a+b)$$\Rightarrow 2=a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}\Leftrightarrow a+b\leq 2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$(a^2+b^2)^2=(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b})^2\leq (a^3+b^3)(a+b)\leq 2.2=4$
$\Rightarrow a^2+b^2\leq 2$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=1$
Bạn dùng bđt gì đó nhỉ? Mình ko hiểu lắm
#12
Đã gửi 10-08-2014 - 08:59
Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $$a^2+b^2\leq 2$$
Áp dụng BĐT Holder ta có : $x^{3}+y^{3}\geq \frac{(x+y)^{3}}{4}\Rightarrow x+y\leq 2$
Áp dụng BĐT Bunyakovsky : $x^{2}+y^{2}\leq \sqrt{(x^{3}+y^{3})(x+y)}\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 10-08-2014 - 09:19
- HungHuynh2508, huyentom, BlackSweet và 4 người khác yêu thích
#13
Đã gửi 10-08-2014 - 09:11
Giả sử $a+b>2$
$\Leftrightarrow a>2-b$
$\Leftrightarrow a^{3}> \left ( 2-b \right )^{3}$
$\Leftrightarrow a^{3}> 8-12b+6b^{2}-b^{3}$
$\Leftrightarrow 2> 8-12b+6b^{2}$
$\Leftrightarrow 0> 6-12b+6b^{2}$
$\Leftrightarrow 0> 1-2b+b^{2}$ (vô lý)
Vậy $ a+b\leqslant2$
dấu = xảy ra khi $a=b=1$
Chỗ $a,b$ có bình phương mà anh!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 10-08-2014 - 09:12
- Rias Gremory yêu thích
#14
Đã gửi 10-08-2014 - 09:20
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh