Chủ đề này có 1 trả lời

[jumjihoo]

Bài 1: Cho a,b,c>0; a+b+c=3. Chứng minh rằng:

 $\Sigma \frac{a}{1+(b+c)^{2})}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+12abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-08-2014 - 15:56

[KietLW9]

Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum_{cyc}(\frac{a}{1+(b+c)^2}-a)\leqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}-3 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}\geqslant \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2+12abc}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $\sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{a+\frac{a}{(b+c)^2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}}=\frac{36abc}{4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})}$

Đến đây, ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+12abc\geqslant 4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow  a^2+b^2+c^2\geqslant 4abc(\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{a}{bc}-\frac{4a}{(b+c)^2})\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b-c)^2}{bc(b+c)^2}\geqslant 0$ *Đúng*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 03-04-2021 - 12:02