Chủ đề này có 2 trả lời

[killerdark68]

cho x,y,z $\geq$ 0 và x+y+z=2.cmr $\sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}(\sum x^4)$

[chardhdmovies]

ta có $2(\sum x^3)-\sum x^4=\sum x^3(2-x)=\sum x^3(y+z)=\sum xy(x^2+y^2)\leq (xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)$

$=\frac{1}{2}(2xy+2yz+2zx)(x^2+y^2+z^2)\leq \frac{1}{2}\frac{(2xy+2yz+2zx+x^2+y^2+z^2)^2}{4}=2$

$\Rightarrow 2(x^3+y^3+z^3)-(x^4+y^4+z^4)\leq 2$

$\Leftrightarrow \sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}\sum x^4$

dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} xyz=0\\2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2 \\x+y+z=2 \end{matrix}\right.$ hay 1 trong 3 số $x;y;z$ thì có 1 số bằng $0$ và 1 số bằng $1$

[KietLW9]

Tương tự: 

 

Ta có: $1=\frac{(a+b+c)^4}{16}=\frac{[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2}{16}\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2).2(ab+bc+ca)}{16}=\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{2}$

$\Leftrightarrow 2\geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)\geqslant a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)=a^3(2-a)+b^3(2-b)+c^3(2-c)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có một số bằng 0 và 2 số bằng 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 19:26