2 replies to this topic

[math is life]

Giải chi tiết giùm em..!! thanks..!!


Chứng minh: (8+3 căn 7)^7 có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy,..!!

Viết bằng đt các bác thông cam...!!

Edited by E. Galois, 10-08-2014 - 23:22.

[Nguyentiendung9372]

Đặt

$a=8+3\sqrt{7}, b=8-3\sqrt{7}$

Suy ra $ab=1$ và  $a+b=16$

Ta chứng minh ${a^7} + {b^7}$  là một số nguyên. 

Thật vậy, đặt

${S_n} = {a^n} + {b^n}$

Do $a, b$ là nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn $x$ nên ta có 

$\left\{\begin{matrix} a^{2}-16a+1=0\\ b^{2}-16b+1=0 \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra 

$\left\{\begin{matrix} a^{n}-16a^{n-1}+a^{n-2}=0\\ b^{n}-16b^{n-1}+b^{n-2}=0 \end{matrix}\right.$

Do đó, ta có 

${S_n} = 16{S_{n - 1}} - {S_{n - 2}}$

Từ đây suy ra ${S_n}$ nguyên, suy ra ${S_7}$ nguyên

Lại có $0 < b < \frac{1}{{10}} \Rightarrow 0 < {b^7} < \frac{1}{{{{10}^7}}}$

Do đó, ${S_7} > {a^7} > {S_7} - \frac{1}{{{{10}^7}}} = \overline {A,9999999} $, với $A = {S_7} - 1$.

Suy ra $a$ có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy

 

[math is life]

Thanks