Chủ đề này có 4 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. CMR:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$

[Super Fields]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. CMR:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$

 

Lời giải:

 

Cần chứng minh: $$\sum \frac{1}{a+b}\geq 2+\frac{1}{\sum a}$$

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca=1,r=abc$

Vậy ta cần chứng minh:$$\dfrac{(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2+\dfrac{1}{a+b+c}$$

$$\Longleftrightarrow \dfrac{p^2+q}{pq-r}=\dfrac{p^2+1}{p-r}\geq 2+\dfrac{1}{p}$$

$$\Longleftrightarrow \frac{p^2+1}{p-r}-\frac{1}{p}-2\geq 0$$

$$\Longleftrightarrow p(p^2+1)-p+r-2p(p-r)\geq 0$$

$$\Longleftrightarrow p^3-2p^2+2pr+r\geq 0$$

Nếu $p\geq 2$ thì $p^3-2p^2+2pr+r\geq p^3-2p^2=p^2(p-2)\geq 0$

$\Longrightarrow$  $Q.E.D$ 

 

Nếu $\sqrt{3}\leq p\leq 2$ thì theo BĐT $Schur$ ta có :

$r\geq \dfrac{1}{9}(4pq-p^3)=\dfrac{1}{9}(4p-p^3)$

Do vậy ta cần chứng minh :$$p^3-2p^2+p\dfrac{2}{9}(4p-p^3)+\dfrac{1}{9}(4p-p^3)\geq 0\Longleftrightarrow \frac{-2}{9}p(p-2)(p-1)^2\geq 0$$

Với $p \leq 2$ thì bđt trên luôn đúng

 

Tóm lại, BĐT trên đã được chứng minh.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. CMR:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c},$$

$$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\geq 2(a+b+c)+1,$$

$$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+2\geq 2(a+b+c).$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có

$$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+2\ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+2=\frac{(a+b+c)^2}{2}+2 \geq 2(a+b+c).$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ cùng các hoán vị.

[Super Fields]

$$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+2\ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+2=\frac{(a+b+c)^2}{2}+2 \geq 2(a+b+c).$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ cùng các hoán vị.

 

Đoạn $$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^2}{2\sum ab}$$

Thì dấu $=$ phải ở $a=b=c$ chứ anh nhỉ ?

[Nguyenhuyen_AG]

Đoạn $$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(\sum a)^2}{2\sum ab}$$

Thì dấu $=$ phải ở $a=b=c$ chứ anh nhỉ ?

Em xem kỹ lại, đánh giá này có 2 dấu bằng.