Chủ đề này có 5 trả lời

[chardhdmovies]

Cho $a;b;c>0$.CMR:$\frac{ab}{3a^2+b^2}+\frac{bc}{3b^2+c^2}+\frac{ca}{3c^2+a^2}\leq \frac{3}{4}$

[Nguyenhuyen_AG]

Gợi ý: Tách $3a^2+b^2=2a^2+(a^2+b^2)$ rồi sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

[chardhdmovies]

Gợi ý: Tách $3a^2+b^2=2a^2+(a^2+b^2)$ rồi sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

không dễ vậy đâu bạn ơi

nếu làm như trên làm được thì bạn làm tiếp cho mình coi với

[Nguyenhuyen_AG]

Gợi ý: Tách $3a^2+b^2=2a^2+(a^2+b^2)$ rồi sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

 

Bạn hãy đặt bút suy nghĩ thêm tí nữa, chưa gì đã bảo không được rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 13-08-2014 - 19:47

[chardhdmovies]

Bạn hãy đặt bút suy nghĩ thêm tí nữa, chưa gì đã bảo không được rồi.

không được mà,nếu vậy cậu làm tiếp đi

[Bui Ba Anh]

Bài giải: Áp dụng $AM-GM$ ta có

$\sum \frac{ab}{3a^{2}+b^{2}}\leq \sum \frac{ab}{(a^{2}+b^{2})+2a^{2}}\leq \sum \frac{ab}{2\sqrt{(a^{2}+b^{2})2a^{2}}}= \sum \frac{1}{2\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$ $(1)$

Đặt $a^{2}=x;b^{2}=y;c^{2}=z$ ta có $\sum (\sqrt{\frac{y}{x+y}})^{2}\leq (\sum y+z)(\sum \frac{y}{(x+y)(y+z)})= \frac{4\sum x.\sum xy}{(x+y)(y+z)(x+z)}=P$

Ta lại có $8\sum x\sum xy\leq 9(x+y)(x+z)(y+z)$ nên $P\leq \frac{9}{2}=>\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có $\sum \frac{ab}{3a^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{3}{\sqrt{2}}= \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ $Q.E.D$