Chủ đề này có 4 trả lời

[xxthieuongxx]

Mọi người sử dụng AM-GM nhé.

 

1. Cho $a,b,c>0$. CMR:
       $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$.

2. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}+\sqrt[3]{c^{3}+b^{3}}+\sqrt[3]{a^{3}+c^{3}}\geq \sqrt[3]{2}(a+b+c)$.

3. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[4]{a^{4}+b^{4}}+\sqrt[4]{c^{4}+b^{4}}+\sqrt[4]{a^{4}+c^{4}}\geq \sqrt[4]{2}(a+b+c)$.

4. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[5]{a^{5}+b^{5}}+\sqrt[5]{c^{5}+b^{5}}+\sqrt[5]{a^{5}+c^{5}}\geq \sqrt[5]{2}(a+b+c)$.

5. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}+\sqrt[n]{c^{n}+b^{n}}+\sqrt[n]{a^{n}+c^{n}}\geq \sqrt[n]{2}(a+b+c)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 14-08-2014 - 22:19

[hoangson2598]

Bài 1:

Áp dụng bđt mincopxki:

$VT\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=VP$

[Namthemaster1234]

1.$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+b^2}+\sqrt{a^2+c^2}\geq \sqrt{(2a+c)^2+(2b+c)^2}=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)+4ac+4bc+2(a^2+b^2)}\geq \sqrt{2(a+b+c)^2}=\sqrt{2}(a+b+c)$

[xxthieuongxx]

1. $\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\geq \sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab}= \sqrt{(a+b)^{2}}= a+b$ (Do a, b > 0.).

$\Rightarrow  \sqrt{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}})\geq 2(a+b+c)$.

$\Rightarrow  \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$.

  Dấu bằng $\Leftrightarrow  a = b = c >0$.

 

 

[quangnghia]

 

1. Cho $a,b,c>0$. CMR:
       $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$.

2. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}+\sqrt[3]{c^{3}+b^{3}}+\sqrt[3]{a^{3}+c^{3}}\geq \sqrt[3]{2}(a+b+c)$.

3. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[4]{a^{4}+b^{4}}+\sqrt[4]{c^{4}+b^{4}}+\sqrt[4]{a^{4}+c^{4}}\geq \sqrt[4]{2}(a+b+c)$.

4. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[5]{a^{5}+b^{5}}+\sqrt[5]{c^{5}+b^{5}}+\sqrt[5]{a^{5}+c^{5}}\geq \sqrt[5]{2}(a+b+c)$.

5. Cho $a,b,c>0$. CMR:

       $\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}+\sqrt[n]{c^{n}+b^{n}}+\sqrt[n]{a^{n}+c^{n}}\geq \sqrt[n]{2}(a+b+c)$.

 

5)Tổng quát ta có $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+..+\frac{a^{n}}{a^{n}+b^{n}}\geq \frac{na}{\sqrt[n]{2^{n-1}(a^{n}+b^{n})}}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+..+\frac{b^{n}}{a^{n}+b^{n}}\geq \frac{nb}{\sqrt[n]{2^{n-1}(a^{n}+b^{n})}}$

Cộng theo vế ta được $n\geq \frac{n(a+b)}{\sqrt[n]{2^{n-1}(a^{n}+b^{n})}}$

$\Rightarrow \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}\geq \frac{\sqrt[n]{2}(a+b)}{2}$

Thực hiện 2 bđt tương tự và cộng theo vế, ta được điều phải chứng minh