Chủ đề này có 1 trả lời

[binvippro]

Cho x,y,z>0 và $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^ny+y^nz+z^nx$ với n là số tự nhiên 

Tự hào là thành viên VMF

[bachhammer]

Cho x,y,z>0 và $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^ny+y^nz+z^nx$ với n là số tự nhiên 

Tự hào là thành viên VMF

Xét n = 0 thì $P=x+y+z=1$ nên 1 là GTLN trong TH này

Xét n = 1 thì $P=xy+yz+zx\le\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Xét $n\ge2$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$. Áp dụng BĐT Bernouli ta được:

$b(a+c)^n=a^nb(1+\frac{c}{a})^n\ge a^nb(1+\frac{nc}{a})\ge a^nb(1+\frac{2c}{a})=a^nb+a^{n-1}bc+a^{n-2}abc\ge a^nb+b^{n-1}bc+c^{n-2}ac^2=a^nb+b^nc+c^na.$

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:$b(a+c)^n=n^n. (\frac{a+c}{n})^n.b\le n^n(\frac{n.\frac{a+c}{n}+b}{n+1})^{n+1}=\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$.

Từ đó suy ra P đạt giá trị lớn nhất là $\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$ và dấu bằng có thể tự tìm được....