Chủ đề này có 1 trả lời

[Messi10597]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $9(a^{4}+b^{4}+c^{4})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=0$

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 15-08-2014 - 14:37

[Viet Hoang 99]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $9(a^{4}+b^{4}+c^{4})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=0$

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}$

 

$9a^4+9\geq 18a^2$

$\Rightarrow 9\sum a^4+27\geq 18\sum a^2$

$GT\Leftrightarrow 9\sum a^4+27-25\sum a^2+21=0$

 

Vậy $\Rightarrow 0\geq 18\sum a^2-25\sum a^2+21$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$

 

Khi đó: $P=\sum \frac{a^4}{a^2b+2ca^2}\geq \frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\geq \frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sqrt{\sum a^2.\sum a^2b^2}+2\sqrt{\sum a^2.\sum a^2b^2}}=\frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sqrt{3\sum a^2.3\sum a^2b^2}}\geq \frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}=\sqrt{\frac{\sum a^2}{3}}\geq 1$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-08-2014 - 17:44