Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán 1: Tìm đa thức $P(x)$ hệ số nguyên và thỏa mãn với mọi số $n$ nguyên dương ta có $2^{n}-1$ chia hết $P(n)$

Bài toán 2: Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực. Tìm bộ ba số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[bachhammer]

Bài toán 1: Tìm đa thức $P(x)$ hệ số nguyên và thỏa mãn với mọi số $n$ nguyên dương ta có $2^{n}-1$ chia hết $P(n)$

Bài toán 2: Cho ba số thực sao cho đa thức $P(x)=x^{4}+ ax^{3}+bx^{2}+cx+1$ có nghiệm thực. Tìm bộ ba số $(a,b,c)$ mà $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 1: Ta xét P(x) là đa thức hằng thì dễ dàng suy ra P(x)=1, P(x)=-1 thỏa bài toán. Sau đó xét P ko là đa thức hằng. Khi đó ta gọi p là ước nguyên tố của P(n) nào đó , n nguyên dương thì p phải là số lẻ (vì p là ước của $2^n-1$). Ta có $f(n+p)-f(n)\equiv 0(modp)$ hay $2^{n+p}-2^n\equiv 0 (modp)$. Theo định lí Fermat ta có $2^{n+p}\equiv2^{n+1}(modp)\Rightarrow 2^{n+1}\equiv 2^n (mod p)\Rightarrow 2^n\equiv 0(mod p)$ (Vô lí). Từ đó ta kết luận là được.

Bài 2: Gỉa sử $x_0$ là nghiệm của P(x) thì ta có $(x_0^4+1)^2=(ax_0^3+bx_0^2+cx_0)^2=x_0^2 (ax_0^2+bx_0+c)^2\le x_0^2(a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)=(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \frac{(x_0^4+1)^2}{x_0^6+x_0^4+x_0^2}$. Đến đây khảo sát hàm số là được

[caybutbixanh]

 

Bài 2: Gỉa sử $x_0$ là nghiệm của P(x) thì ta có $(x_0^4+1)^2=(ax_0^3+bx_0^2+cx_0)^2=x_0^2 (ax_0^2+bx_0+c)^2\le x_0^2(a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)=(a^2+b^2+c^2)(x^6+x^4+x^2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \frac{(x_0^4+1)^2}{x_0^6+x_0^4+x_0^2}$. Đến đây khảo sát hàm số là được

Khảo sát hàm số nào vậy anh ? Em chưa học nhiểu phần này nên chưa biết nhiểu lắm...