Chủ đề này có 8 trả lời

[Super Fields]

Bài toán:

 

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$

 

$\boxed{2}$Chứng minh rằng : Nếu $a;b;c >0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 17-08-2014 - 15:37

[DANH0612]

 

Bài toán:

 

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$

 

 

ta có $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$VT\leq 2\sum \frac{a}{b+c}+3=\sum a\sum \frac{2}{b+c}-3\leq \sum a\sum \frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3= \sum a\sum \frac{1}{a}-3=VP$ (dpcm) 

đây = xảy ra khi a=b=c

[canhhoang30011999]

 

Bài toán:

 

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$

 

$\boxed{2}$Chứng minh rằng : Nếu $a;b;c >0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}$$

 

2 ta có $GT<=> \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$

$=> x+y+z=(x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})$$\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^{2}$

$=>\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

[Kool LL]

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$ (1)

 

(1) $\Leftrightarrow\sum_{a,b,c}\left(\frac{a+b+c}{a+b}-1\right)+\frac{9}{2}\le\sum_{a,b,c}\left(\frac{a+b+c}{a}-1\right)$ $\Leftrightarrow\sum_{a,b,c}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\le\sum_{a,b,c}\frac{1}{a}$ (2)

 

Ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\overset{\text{C.S}}{\ge}\frac{4}{a+b}$  $\Rightarrow \sum_{a,b,c}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2}\sum_{a,b,c}\frac{1}{a}$ (*)

$\sum_{a,b,c}\frac{1}{a}\overset{\text{C.S}}{\ge}\frac{9}{a+b+c}$  $\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{9}{a+b+c}\right)\le\frac{1}{2}\sum_{a,b,c}\frac{1}{a}$ (**)

(*)(**) $\Rightarrow$ (2) đúng $\Rightarrow$ (1) đúng.

[Nguyentiendung9372]

Bài toán:

 

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$

Bất đẳng thức viết lại thành 

$\sum {\left( {{a \over {b + c}} - {1 \over 2}} \right)}  \le \sum {\left( {{{b + c} \over a} - 2} \right)} $

$ \Leftrightarrow \sum {{{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {2\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}}  \le \sum {{{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {ab}}}  \Leftrightarrow \sum {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {{1 \over {ab}} - {1 \over {2\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}} \right)}  \ge 0$

BDDT trên hiển nhiên đúng vì 

${1 \over {ab}} \ge {1 \over {2\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}},{1 \over {bc}} \ge {1 \over {2\left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right)}},{1 \over {ca}} \ge {1 \over {2\left( {c + b} \right)\left( {a + b} \right)}}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

[Kool LL]

Bất đẳng thức viết lại thành 

$\sum {\left( {{a \over {b + c}} - {1 \over 2}} \right)}$ $\le$ $\sum {\left( {{{b + c} \over a} - 2} \right)} $

$ \Leftrightarrow$ $\sum {{{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {2\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}}$  $\le$ $\sum {{{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {ab}}}$  $\Leftrightarrow \sum {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {{1 \over {ab}} - {1 \over {2\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}} \right)}  \ge 0$

BDDT trên hiển nhiên đúng vì 

${1 \over {ab}} \ge {1 \over {2\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}},{1 \over {bc}} \ge {1 \over {2\left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right)}},{1 \over {ca}} \ge {1 \over {2\left( {c + b} \right)\left( {a + b} \right)}}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

 

Phần màu xanh thì tương đương, nhưng phần màu đỏ thì không tương đương !!!

[Nguyentiendung9372]

Phần màu xanh thì tương đương, nhưng phần màu đỏ thì không tương đương !!!

Mình vẫn không hiểu lắm

[Kool LL]

Mình vẫn không hiểu lắm

Phần màu xanh thì trên dưới bằng nhau, còn phần màu đỏ bạn biến đổi thế nào vậy !? Tôi kiểm tra thấy đâu có đúng. Bạn có thể làm rõ hơn không >?

[chardhdmovies]

Phần màu xanh thì trên dưới bằng nhau, còn phần màu đỏ bạn biến đổi thế nào vậy !? Tôi kiểm tra thấy đâu có đúng. Bạn có thể làm rõ hơn không >?

$\sum (\frac{a}{b+c}-\frac{1}{2})=\sum \frac{(a-b)+(a-c)}{2(b+c)}=\sum (a-b)(\frac{1}{2(b+c)} -\frac{1}{2(a+c)})=\sum \frac{(a-b)^2}{2(b+c)(a+c)}$