Chủ đề này có 3 trả lời

[luuvanthai]

Tìm hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn 

$xf(x+\frac{1}{y})+yf(x)+\frac{y}{x}=yf(y+\frac{1}{x})+xf(y)+\frac{x}{y}$

[Juliel]

Tìm hàm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn 

$$xf(x+\frac{1}{y})+yf(x)+\frac{y}{x}=yf(y+\frac{1}{x})+xf(y)+\frac{x}{y}\;\;\;\;(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $\dfrac{1}{x}$ và $y$ bởi $\dfrac{1}{y}$ ta được :

$$\dfrac{1}{x}f\left ( \dfrac{1}{x}+y \right )+\dfrac{1}{y}f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{y}f\left ( \dfrac{1}{y} +x\right )+\dfrac{1}{x}f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+\dfrac{y}{x},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left ( \dfrac{1}{x}+y \right )+\dfrac{x}{y}f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{x}{y}f\left ( \dfrac{1}{y} +x\right )+f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+y,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;\;(2)$$

Chia hai vế của $(1)$ cho $y$ :

$$\dfrac{x}{y}f\left ( x+\dfrac{1}{y} \right )+f(x)+\dfrac{1}{x}=f\left ( y+\dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x}{y}f(y)+\dfrac{x}{y^2},\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$$

Trừ vế theo vế $(2)(3)$ ta suy ra :

$$\dfrac{x}{y}f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x^2}{y}-\dfrac{x}{y}f(y)-\dfrac{x}{y^2}=f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+y-f(x)-\dfrac{1}{x}=0,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(4)$$

Trong $(4)$ cho $y=1$ :

$$f(x)+xf\left ( \dfrac{1}{x} \right )=x+xf(1)-x^2+f(1)+1-\dfrac{1}{x},\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(*)$$

 

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $\dfrac{1}{x}$ ta được :

$$\dfrac{1}{x}f\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )+yf\left ( \dfrac{1}{x} \right )+xy=yf(y+x)+\dfrac{1}{x}f(y)+\dfrac{1}{xy},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(5)$$

Chia hai vế của $(5)$ cho $y$ :

$$\dfrac{1}{xy}f\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )+f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+x=f(y+x)+\dfrac{1}{xy}f(y)+\dfrac{1}{xy^2},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(6)$$

Đổi vai trò của $x,y$ cho nhau trong $(5)$ :

$$\dfrac{1}{y}f\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} \right )+xf\left ( \dfrac{1}{y} \right )+yx=xf(x+y)+\dfrac{1}{y}f(x)+\dfrac{1}{yx},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(7)$$

Chia hai vế của $(7)$ cho $x$ :

$$\dfrac{1}{xy}f\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} \right )+f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+y=f(x+y)+\dfrac{1}{xy}f(x)+\dfrac{1}{yx^2},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(8)$$

Trừ $(6)(8)$ vế theo vế :

$$f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+x-f\left ( \dfrac{1}{y} \right )-y=\dfrac{1}{xy}f(y)+\dfrac{1}{xy^2}-\dfrac{1}{xy}f(x)-\dfrac{1}{yx^2},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(9)$$

Từ $(*)$ ta thay $f(x)=-xf\left ( \dfrac{1}{x} \right )+x+xf(1)-x^2+1+f(1)-\dfrac{1}{x},\;\forall x\in \mathbb{R}$ vào $(9)$ rồi sau đó thay $x,y$ lần lượt bởi nghịch đảo của nó và thu gọn ta được :

$$f(x)+\dfrac{1}{x}+x\left ( f(y)-1-f(1) +\dfrac{1}{y} \right )=f(y)+\dfrac{1}{y}+y\left ( f(x)-1-f(1) +\dfrac{1}{x} \right ),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

 

Từ đây cho $y=2$ thì được :

$$f(x)+\dfrac{1}{x}+x\left ( f(2)-1-f(1)+\dfrac{1}{2} \right )=f(2)+2+2\left ( f(x)-1-f(1)+\dfrac{1}{x} \right ),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{-1}{x}+ax+b,\;\forall x\in \mathbb{R},(a,b=const)$$

Tới đây thì thay vào phương trình hàm ban đầu để tìm $a,b$. Khá trâu    .

 

@@ Chả biết có sai không mà chả thấy có tí lí luận nào về hàm cả, toàn thay với thế thôi =)))

[davidjame]

Lời giải :

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $\dfrac{1}{x}$ và $y$ bởi $\dfrac{1}{y}$ ta được :

$$\dfrac{1}{x}f\left ( \dfrac{1}{x}+y \right )+\dfrac{1}{y}f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{y}f\left ( \dfrac{1}{y} +x\right )+\dfrac{1}{x}f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+\dfrac{y}{x},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left ( \dfrac{1}{x}+y \right )+\dfrac{x}{y}f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{x}{y}f\left ( \dfrac{1}{y} +x\right )+f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+y,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;\;(2)$$

Chia hai vế của $(1)$ cho $y$ :

$$\dfrac{x}{y}f\left ( x+\dfrac{1}{y} \right )+f(x)+\dfrac{1}{x}=f\left ( y+\dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x}{y}f(y)+\dfrac{x}{y^2},\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$$

Trừ vế theo vế $(2)(3)$ ta suy ra :

$$\dfrac{x}{y}f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+\dfrac{x^2}{y}-\dfrac{x}{y}f(y)-\dfrac{x}{y^2}=f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+y-f(x)-\dfrac{1}{x}=0,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(4)$$

Trong $(4)$ cho $y=1$ :

$$f(x)+xf\left ( \dfrac{1}{x} \right )=x+xf(1)-x^2+f(1)+1-\dfrac{1}{x},\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(*)$$

 

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $\dfrac{1}{x}$ ta được :

$$\dfrac{1}{x}f\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )+yf\left ( \dfrac{1}{x} \right )+xy=yf(y+x)+\dfrac{1}{x}f(y)+\dfrac{1}{xy},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(5)$$

Chia hai vế của $(5)$ cho $y$ :

$$\dfrac{1}{xy}f\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )+f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+x=f(y+x)+\dfrac{1}{xy}f(y)+\dfrac{1}{xy^2},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(6)$$

Đổi vai trò của $x,y$ cho nhau trong $(5)$ :

$$\dfrac{1}{y}f\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} \right )+xf\left ( \dfrac{1}{y} \right )+yx=xf(x+y)+\dfrac{1}{y}f(x)+\dfrac{1}{yx},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(7)$$

Chia hai vế của $(7)$ cho $x$ :

$$\dfrac{1}{xy}f\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} \right )+f\left ( \dfrac{1}{y} \right )+y=f(x+y)+\dfrac{1}{xy}f(x)+\dfrac{1}{yx^2},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(8)$$

Trừ $(6)(8)$ vế theo vế :

$$f\left ( \dfrac{1}{x} \right )+x-f\left ( \dfrac{1}{y} \right )-y=\dfrac{1}{xy}f(y)+\dfrac{1}{xy^2}-\dfrac{1}{xy}f(x)-\dfrac{1}{yx^2},\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(9)$$

Từ $(*)$ ta thay $f(x)=-xf\left ( \dfrac{1}{x} \right )+x+xf(1)-x^2+1+f(1)-\dfrac{1}{x},\;\forall x\in \mathbb{R}$ vào $(9)$ rồi sau đó thay $x,y$ lần lượt bởi nghịch đảo của nó và thu gọn ta được :

$$f(x)+\dfrac{1}{x}+x\left ( f(y)-1-f(1) +\dfrac{1}{y} \right )=f(y)+\dfrac{1}{y}+y\left ( f(x)-1-f(1) +\dfrac{1}{x} \right ),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

 

Từ đây cho $y=2$ thì được :

$$f(x)+\dfrac{1}{x}+x\left ( f(2)-1-f(1)+\dfrac{1}{2} \right )=f(2)+2+2\left ( f(x)-1-f(1)+\dfrac{1}{x} \right ),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{-1}{x}+ax+b,\;\forall x\in \mathbb{R},(a,b=const)$$

Tới đây thì thay vào phương trình hàm ban đầu để tìm $a,b$. Khá trâu    .

 

@@ Chả biết có sai không mà chả thấy có tí lí luận nào về hàm cả, toàn thay với thế thôi =)))

Chia 2 vế cho $y$ thì $y$ khác 0 chứ nhỉ

[Juliel]

Chia 2 vế cho $y$ thì $y$ khác 0 chứ nhỉ

Thực ta mình nghĩ đề phải cho hàm $f:\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ vì bản thân ở phương trình hàm, cũng có biến nằm ở mẫu rồi. Nhìn thì khiếp như vậy nhưng ý tưởng là đưa về đối xứng để triệt tiêu bớt đi thôi. Bạn nào kiên nhẫn kiểm tra hộ mình, mình thấy bài làm của mình sao sao á, không chắc chắn ((