Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhthanhtoan]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x,y)=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-2(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}; x,y\neq 0$ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 23-08-2014 - 19:53

[tranphuonganh97]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x,y)=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-2(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}; x,y\neq 0$ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt $\frac{x}{y}=a$

$=> f(x,y)=f(a)=a^4+\frac{1}{a^4}-2(a^2+\frac{1}{a^2})+a+\frac{1}{a}$

$<=> f(a)=(a^2+\frac{1}{a^2}-1)^2-3+a+\frac{1}{a}\geq(2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}-1)^2-3+2.\sqrt{a.\frac{1}{a}}$

$<=> f(a)\geq 0$

$Min f(a)=0 <=> \left\{\begin{matrix} a^2=\frac{1}{a^2}\\a=\frac{1}{a} \end{matrix}\right. <=> a=1$

 

Bài giải SAI vì không có điều kiện $x,y>0$ để dùng Cauchy chỗ $a+\frac{1}{a}\geq2.\sqrt{a.\frac{1}{a}$

   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphuonganh97: 29-08-2014 - 12:41

[thanhthanhtoan]

Đặt $\frac{x}{y}=a$

$=> f(x,y)=f(a)=a^4+\frac{1}{a^4}-2(a^2+\frac{1}{a^2})+a+\frac{1}{a}$

$<=> f(a)=(a^2+\frac{1}{a^2}-1)^2-2+a+\frac{1}{a}\geq(2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}-1)^2-2+2.\sqrt{a.\frac{1}{a}}$

$<=> f(a)\geq 1$

$Min f(a)=1 <=> \left\{\begin{matrix} a^2=\frac{1}{a^2}\\a=\frac{1}{a} \end{matrix}\right. <=> a=-+1$

$<=> f(a)=(a^2+\frac{1}{a^2}-1)^2-2+...$ phải là $<=> f(a)=(a^2+\frac{1}{a^2}-1)^2-3+...$ chứ phải không bạn?

 

Bạn có thể làm theo cách tính đạo hàm và vẽ BBT không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 28-08-2014 - 21:00

[tranphuonganh97]

$<=> f(a)=(a^2+\frac{1}{a^2}-1)^2-2+...$ phải là $<=> f(a)=(a^2+\frac{1}{a^2}-1)^2-3+...$ chứ phải không bạn?

 

Bạn có thể làm theo cách tính đạo hàm và vẽ BBT không?

Đặt $a^2+\frac{1}{a^2}=t=>a+\frac{1}{a}=\sqrt{t+2}$

Do đó: $f(a)=f(t)=(t-1)^2-2+\sqrt{t+2}=t^2-2t+\sqrt{t+2}-1$

$f'(t)=2t-2+\frac{1}{2\sqrt{t+2}}$

Mà $t=a^2+\frac{1}{a^2}\geq 2=>f'(t)>0 \forall t\geq 2$

$=>f(t)$ đồng biết trên $[2,+oo)$ 

$=> Min_{[2,+oo)}f(t)=f(2)=2^2-2.2+\sqrt{2+2}-1=3$ khi $a=+-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphuonganh97: 29-08-2014 - 12:43