Chủ đề này có 3 trả lời

[khongghen]

Cho đường tròn tâm $C$ tiếp xúc đường tròn tâm $A$ tại $B$ đường tròn $( C )$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm thứ 2 là $D$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AC$ cắt đường tròn $(A)$ tại điểm $E$. F là trung điểm $DE$ từ $F$ kẻ tiếp tuyến đến $( C )$ cắt đường tròn $(A)$ tại $G$. Chứng minh $EG=ED$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 23-08-2014 - 10:09

[Viet Hoang 99]

Cho đường tròn tâm $C$ tiếp xúc đường tròn tâm $A$ tại $B$ đường tròn $( C )$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm thứ 2 là $D$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AC$ cắt đường tròn $(A)$ tại điểm $E$. F là trung điểm $DE$ từ $F$ kẻ tiếp tuyến đến $( C )$ cắt đường tròn $(A)$ tại $G$. Chứng minh $EG=ED$

 

Untitled.gif

$\Delta BID$ vuông tại $I$

$\Rightarrow \widehat{CIB}=\widehat{CBI}$

Mà $\widehat{CBI}=\widehat{IBD}=\widehat{IDF}$
$\widehat{IDF}=\widehat{ICF}$ (do tứ giác $ICDF$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{CIB}=\widehat{ICF}$

Mà 2 góc trên ở vị trí song song

$\Rightarrow CF||BI$
Lại có $CF$ là đường trung bình tam giác $DBE$

$\Rightarrow CF||BE$

Vậy $B;I;E$ thẳng hàng.

 

Có: $ED^2=EI.EB=EG^2$
$\Rightarrow ED=EG$ (đpcm)

[ChiLanA0K48]

$\Delta BID$ vuông tại $I$

$\Rightarrow \widehat{CIB}=\widehat{CBI}$

Mà $\widehat{CBI}=\widehat{IBD}=\widehat{IDF}$
$\widehat{IDF}=\widehat{ICF}$ (do tứ giác $ICDF$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{CIB}=\widehat{ICF}$

Mà 2 góc trên ở vị trí song song

$\Rightarrow CF||BI$
Lại có $CF$ là đường trung bình tam giác $DBE$

$\Rightarrow CF||BE$

Vậy $B;I;E$ thẳng hàng.

 

Có: $ED^2=EI.EB=EG^2$
$\Rightarrow ED=EG$ (đpcm)

 

Để chứng minh $B,E,I$ thẳng hàng thì có thể nói do $BI,IE$ cùng vuông góc với $ID$

Còn mình nghĩ cần chứng mình $EG^{2}=EI.EB$ chứ đâu khẳng định luôn được

[ChiLanA0K48]

Cho đường tròn tâm $C$ tiếp xúc đường tròn tâm $A$ tại $B$ đường tròn $( C )$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm thứ 2 là $D$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AC$ cắt đường tròn $(A)$ tại điểm $E$. F là trung điểm $DE$ từ $F$ kẻ tiếp tuyến đến $( C )$ cắt đường tròn $(A)$ tại $G$. Chứng minh $EG=ED$

 

 

 

Chứng minh được $B,I,E$ thẳng hàng

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta dễ chứng minh được:

$BD^{2}=BI.BE$

$BD.BH=BE^{2}$

$\Rightarrow \frac{BD}{BH}=\frac{BI}{BE}\Leftrightarrow \frac{BC}{BA}= \frac{BI}{BE}\Rightarrow IC$ song song $EA$

Suy ra $EA$ vuông góc với $GI$

Từ đó dễ dàng chứng minh được $\widehat{EGI}=\widehat{EBG}$

$\Rightarrow \Delta EGI\sim \Delta EBG\Rightarrow EG^{2}=EI.EB$

mà $ED^{2}=EI.EB$

suy ra đpcm