Chủ đề này có 45 trả lời

[hoangquan9x]

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.Chứng minh bất đẳng thức với a,b không âm

    $\frac{\left ( a+b\right )^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

4.Cho các số dương a,b,c,d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

       Chứng minh $abcd\leq \frac{1}{81}$

5.Chứng minh BĐT

       $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ (với các số x,y,z dương )

  bằng cách áp dụng BĐT ôssi và Bu-nhi-a-cốp-xki

6. Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$

      Chứng minh $a< b$

7.a,Chứng minh với mọi số nguyên dương n,ta có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< 3$

   b,Chứng minh rằng trong các số có dạng $\sqrt[n]{n}$(n là số tự nhiên ,$n\geq 2$),số $\sqrt[3]{3}$ có giá trị lớn nhất

8.Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của

       $\sqrt{o,999...9}$(20 chữ số 9)

9.Cho hai dãy số sắp thứ tự:$a\geq b\geq c và x\leq y\leq z$

      Chứng minh bất đẳng thức $\left ( a+b+c \right )\left ( x+y+z \right )\geq 3\left ( ax+by+cz \right )$

10. Chứng minh rằng:

    a,Số$\left ( 8+3\sqrt{7} \right )^{7}$ có bảy chữ số 9 liền sau dấu phẩy

    b,Số $\left ( 7+4\sqrt{3} \right )^{10}$ có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy

 11.Kí hiệu $a_{n}$ là số nguyên gần $\sqrt{n}$ nhất

      VD $\sqrt{1}=1=>a_{1}=1

            \sqrt{2}\approx 1,4=>a_{2}=1

            \sqrt{3}\approx 1,7=>a_{3}=2$          

  Tính $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1980}}$

 

               Còn nhiều lắm ,anh chị cố giải rùm em nhe.Hi Hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquan9x: 24-08-2014 - 21:26

[123456789987654321]

                         

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Gọi d= $\frac{a+b+c}{3}$

Ta có a+b$\geq 2\sqrt{ab}$ => a+b+c+d $\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}$

Mà $2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geq 4\sqrt[4]{abcd}$

=> $a+b+c+d\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geq 4\sqrt[4]{abcd}$

Thay d=$\frac{a+b+c}{3}$ thì ta có:

$a+b+c+\frac{a+b+c}{3}\geq 4\sqrt[4]{abc(\frac{a+b+c}{3})}$

=>$4(\frac{a+b+c}{3})\geq 4\sqrt[4]{abc(\frac{a+b+c}{3})}$ (nhân cả 2 vế cho $\frac{1}{4}$ ta mất 4 cả 2 vế)

=>$(\frac{a+b+c}{3})^{4}\geq abc(\frac{a+b+c}{3})$

=>$\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{3}\geq abc$

=>$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$ (đpcm)

=> 

[quangnghia]

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.Chứng minh bất đẳng thức với a,b không âm

    $\frac{\left ( a+b\right )^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

3) Đặt $a=x^{3}, b=y^{3}, c=z^{3}, x,y,z>0$

Bài toán trở thành $x^{3}+y^3+z^{3}\geq 3xyz$

Ta có $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2})\geq 0$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\geq 0$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 23-08-2014 - 18:59

[chardhdmovies]

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.Chứng minh bất đẳng thức với a,b không âm

    $\frac{\left ( a+b\right )^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

$\frac{a+b}{2}(a+b+\frac{1}{2})\geq \sqrt{ab}[(a+\frac{1}{4})+(b+\frac{1}{4})]\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 23-08-2014 - 18:58

[quangnghia]

Bài 5: Ta có $\frac{x^{2}}{y^{2}}+1\geq \frac{2x}{y}$

$\frac{y^{2}}{z^{2}}+1\geq \frac{2y}{z}$

$\frac{z^{2}}{x^{2}}+1\geq \frac{2z}{x}$

Cộng theo vế ta được $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+3\geq 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3$

$\Rightarrow$ đpcm

[quangnghia]

bài 6: 

Ta có $\frac{1}{1+d}=1-\frac{d}{1+d}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\Rightarrow \frac{1}{(1+d)^{3}}\geq \frac{27abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$

chứng minh tương tự $ \frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{27abc}{(1+b)(1+c)(1+d)}$

$ \frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{27abc}{(1+a)(1+c)(1+d)}$

$ \frac{1}{(1+c)^{3}}\geq \frac{27abc}{(1+a)(1+b)(1+d)}$

Nhân theo vế ta được $\frac{1}{(1+a)^{3}(1+b)^{3}(1+c)^{3}(1+d)^{3}}\geq \frac{27^{4}a^{3}b^{3}c^{3}d^{3}}{(1+a)^{3}(1+b)^{3}(1+c)^{3}(1+d)^{3}}$

$\Rightarrow abcd\leq \frac{1}{81}$

[chieckhantiennu]

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.Chứng minh bất đẳng thức với a,b không âm

    $\frac{\left ( a+b\right )^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

4.Cho các số dương a,b,c,d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

       Chứng minh $abcd\leq \frac{1}{81}$

5.Chứng minh BĐT

       $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ (với các số x,y,z dương )

  bằng cách áp dụng BĐT ôssi và Bu-nhi-a-cốp-xki

6. Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$

      Chứng minh $a< b$

7.a,Chứng minh với mọi số nguyên dương n,ta có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< 3$

   b,Chứng minh rằng trong các số có dạng $\sqrt[n]{n}$(n là số tự nhiên ,$n\geq 2$),số $\sqrt[3]{3}$ có giá trị lớn nhất

8.Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của

       $\sqrt{o,999...9}$(20 chữ số 9)

9.Cho hai dãy số sắp thứ tự:$a\geq b\geq c và x\leq y\leq z$

      Chứng minh bất đẳng thức $\left ( a+b+c \right )\left ( x+y+z \right )\geq 3\left ( ax+by+cz \right )$

10. Chứng minh rằng:

    a,Số$\left ( 8+3\sqrt{7} \right )^{7}$ có bảy chữ số 9 liền sau dấu phẩy

    b,Số $\left ( 7+4\sqrt{3} \right )^{10}$ có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy

             

               Còn nhiều lắm ,anh chị cố giải rùm em nhe.Hi Hi

Mấy bài này quen quen. Mình nhớ không nhầm thì mấy bài này có hết cả trong quyển NC&PT toán 9 tập 1.

[Dinh Xuan Hung]

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

 

4.Cho các số dương a,b,c,d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

       Chứng minh $abcd\leq \frac{1}{8}$

               Còn nhiều lắm ,anh chị cố giải rùm em nhe.Hi Hi

$\sum \frac{a}{1+a}\leq 1\Leftrightarrow \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq \frac{1}{1+a}$

AD bdt AM-GM cho 3 số dương ta dc:

$\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$

tt:$\frac{1}{1+b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}$

$\frac{1}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+b)(1+d)}}$

$\frac{1}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

Nhân cả 3 ve ta dc dpcm

[Dinh Xuan Hung]

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

5.Chứng minh BĐT

       $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ (với các số x,y,z dương )

  bằng cách áp dụng BĐT ôssi và Bu-nhi-a-cốp-xki

               Còn nhiều lắm ,anh chị cố giải rùm em nhe.Hi Hi

AD bdt  Bu-nhi-a-cốp-xki ta dc:$(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})(1+1+1)\geq \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )^2$(1)

DBXR khi x=y=z

ta lai có:$\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )^2\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x}\right )$(2)

(1)(2)$\Rightarrow 3\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )\Leftrightarrow \sum \frac{x^2}{y^2}\geq \sum \frac{x}{y}$

[Mikhail Leptchinski]

                              

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

BĐT đầu

Áp dụng bất đẳng thức min-cốp-xki có

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=\sqrt{2}(a+b+c)$(vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác)

Còn vế sau bạn bình phương rồi biến đổi tương đương nhé!Mình làm ra hơi dài nên không trình bày nữa

[kanashini]

9.Biến đổi tương đương,đc:

 

$VT-VP=(y-x)(a-b)+(z-x)(a-c)+(z-y)(b-c) \geqslant 0$ theo đk bài toán

[ngocvan99]

9.Biến đổi tương đương,đc:

 

$VT-VP=(y-x)(a-b)+(z-x)(a-c)+(z-y)(b-c) \geqslant 0$ theo đk bài toán

nhân tung ra là bất đẳng thức hoán vị luôn chả cần phải phân tính nữa cũng đc hay phân tích là chứng minh lại BĐT hoán vị :3

[123456789987654321]

=> $a+b+c+d\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geq 4\sqrt[4]{abcd}$ sao ra được vậy thế bạn

 

 

vì theo bất đẳng thức cauchy a+b$\geq2 \sqrt{ab}$  nên $2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{cd} \right )\geq 2.2\sqrt[4]{abcd}$

[hoangquan9x]

Thêm một số bài nữa nhé:

11.Chứng minh

          $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}< \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{8b}$ (với $a> b> 0$)

12.Chưng minh

          $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ (có 100 dấu căn )

      Dạo này ít có bài mới ,anh chị nào có bài hay mong mọi người ủng hộ .Cùng góp ý thêm.

                     Em cảm ơn nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquan9x: 28-08-2014 - 22:10

[Near Ryuzaki]

Thêm một số bài nữa nhé:

11.Chứng minh

          $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}< \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{8b}$ (với $a> b> 0$)

12.Chưng minh

          $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ (có 100 dấu căn )

      Dạo này ít có bài mới ,anh chị nào có bài hay mong mọi người ủng hộ .Cùng góp ý thêm.

                     Em cảm ơn nhiều

Ủng hộ bài $12$ nhé, đặt $x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ thì $x^2=2+x$ và $x>0$ nên $x=2$

[hoangquan9x]

 $x^2=2+x$ và $x>0$ nên $x=2$

 Ý sao ra được bước này vậy anh?

    Nếu anh chia cả 2 vế cho x thì em nghĩ không ổn.Anh xem lại rùm em nha

Và x cũng không có bằng 2 được.Em tóm tắt cách nghĩ của em về việc đó nha:

    Ta có

              $2< 4$ (điều hiển nhiên)

    =>$\sqrt{2}< 2$

  =>$2+\sqrt{2}< 4$

=>$\sqrt{2+\sqrt{2}}< 2$

        Rùi làm tương tự,em sẽ chứng minh được:

                                         $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2$  (có 100 dấu căn )

         Anh xem có gì sai sửa rùm em nghe

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquan9x: 01-09-2014 - 20:07

[hoangquan9x]

 đặt $x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ thì $x^2=2+x$

 Em vừa phát hiện thêm một nỗi lữa nhé

    Anh xem thử nó có đúng không nghe

   Nếu đặt :

            $x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ (có 100 dấu căn)

 Thì theo em khi bình nên không có bằng x+2 được .

    Anh xem có đúng không ,nó mất 1 dấu căn rùi mà.

[hoangquan9x]

Bài 12 e viết thiếu,phải là

     Chứng minh    

             $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2$

em sẽ đăng thêm 1 bài ,mong anh chị giải gấp rùm e

13.Tìm Min,Max của A,biết :

       A= $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+1}$

  Với a,b,c dương và abc=1

[killerdark68]

Bài 12 e viết thiếu,phải là

     Chứng minh    

             $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2$

em sẽ đăng thêm 1 bài ,mong anh chị giải gấp rùm e

13.Tìm Min,Max của A,biết :

       A= $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+1}$

  Với a,b,c dương và abc=1

13 ta có $a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)$

nên $\frac{1}{a^3+b^3+1}\leq\frac{1}{abc+ab(a+b)}=\frac{c}{a+b+c}$

cmtt ta được Max A=1 khi a=b=c=1

[hoctrocuaZel]

Bài 12 e viết thiếu,phải là

     Chứng minh    

             $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2$

em sẽ đăng thêm 1 bài ,mong anh chị giải gấp rùm e

13.Tìm Min,Max của A,biết :

       A= $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+1}$

  Với a,b,c dương và abc=1

12/ $A<\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{4}}}}=2$

post bài khác.