Chủ đề này có 2 trả lời

[zipienie]

Xét phương trình $px_1+x_2+...+x_n=k$, trong đó $n,k,p$ là các số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm tự nhiên của phương trình này là $$\sum_{x=0}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}C_{n-2+k-px}^{n-2}$$

[bangbang1412]

Số nghiệm của phương trình trên cũng là nghiệm của phương trình $a_{1}+a_{2}+....+a_{n-1}=k-xp$

Số nghiệm của từng phương trình ( $x$ chạy ) là $C_{n-2+k-xp}^{n-2}$

Lấy tổng ta có điều phải chứng minh .

[Kool LL]

Xét phương trình $px_1+x_2+...+x_n=k$ (1), trong đó $n,k,p$ là các số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm tự nhiên của phương trình này là $$\sum_{x=0}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}C_{n-2+k-px}^{n-2}$$

 

Bằng pp hàm sinh, ta CM được : Số nghiệm tự nhiên của pt $u_1+...+u_N=K$  là  $C_{N-1+K}^{N-1}$.

 

Trở lại bài toán pt (1). Từ (1) $\Rightarrow 0\le x_1\le\frac{k}{p}$ (*)

$\boxed{}$ Nếu $p>k\Leftrightarrow\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor=0$ : thì (*) $\Rightarrow x_1=0$, khi đó $x_2+...+x_n=k$ (2)

Suy ra số nghiệm pt(1) $=$ Số nghiệm pt(2) $=C_{n-2+k}^{n-2}=\sum_{x=0}^{\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor}C_{n-2+k-px}^{n-2}$.

 

$\boxed{}$ Nếu $p\le k\Leftrightarrow \lfloor\frac{k}{p}\rfloor\ge1$ : thì (*) $\Rightarrow 0\le x_1\le\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor$

Với mỗi giá trị tự nhiên $x_1\in\left[0\ ;\ \left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor\right]$ cho tương ứng một pt $x_2+...+x_n=k-p.x_1$ , có số nghiệm là $C_{n-2+k-p.x_1}^{n-2}$

Suy ra số nghiệm pt(1) $=\sum_{x_1=0}^{\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor}C_{n-2+k-px_1}^{n-2}$

 

Vậy tóm lại ta luôn có : Số nghiệm tự nhiên của pt (1) là  $\sum_{x=0}^{\left\lfloor\frac{k}{p}\right\rfloor}C_{n-2+k-px}^{n-2}$ (đpcm).