Chủ đề này có 4 trả lời

[Nangcuong8edtm]

Giải PT nghiệm nguyên sau:
 

$x^3 =y^2 -4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 26-08-2014 - 15:07

[happyfree]

Giải PT nghiệm nguyên sau:
 

$x^3 =y^2 -4$

$y^2-4\geq -4$ suy ra $x^3\geq -4$ suy ra $x\geq -1$

Nếu $x=-1$ thì $y$ không là số nguyên (loại)

Nếu $x=0$ thì $y=2$ hoặc $y=-2$ (chọn)

Nếu $y=0$ thì $x$ không là số nguyên (loại)

Vì $y$ âm hay dương thì $y^2$ không đổi 

Ta đi tìm nghiệm $x,y$ nguyên dương của phương trình trên 

Bổ đề: Nếu $a^2+b^2\vdots p$ với $a,b$ là các số nguyên và $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$ thì $a\vdots p$ và $b\vdots p$

Áp dụng: $x^3=y^2-4$ suy ra $y^2+4=x^3+8$ suy ra $y^2+2^2=(x+2)(x^2-2x+4)$

Nếu $x$ chẵn thì $(x+2)(x^2-2x+4)\vdots 8 (1)$ suy ra $y^2+2^2\vdots 4$ suy ra $y^2\vdots 4$ suy ra $y\vdots 4$ suy ra $y^2\vdots 16$ suy ra $y^2\vdots 8$ 

Suy ra $y^2+2^2$ chia cho 8 dư 4 [trái với (1)]

Nếu $x$ lẻ thì ta thấy $x^2-2x+4=(y-1)^2+3$ chia cho 4 dư 3 nên có ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$. Do đó $y^2+2^2$ có ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$

Theo bổ đề trên thì $p=2$ không có dạng $4k+3$ ,vô lí

Suy ra phương trình trên không có nghiệm $x,y$ nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 29-08-2014 - 21:10

[huy2403exo]

cách 2 : $x^{3}$ chia 9 dư 0;1;8 

$x^{3}+4$ chia 9 dư 3;4;5 $\Rightarrow y^2$ chia 9 dư 3;4;5 (1)

Mà $y^3$ chia 9 dư 0;1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lí 

Phương trình vô nghiệm 

[happyfree]

cách 2 : $x^{3}$ chia 9 dư 0;1;8 

$x^{3}+4$ chia 9 dư 3;4;5 $\Rightarrow y^2$ chia 9 dư 3;4;5 (1)

Mà $y^3$ chia 9 dư 0;1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lí 

Phương trình vô nghiệm 

Bạn ơi phương trình có 2 nghiệm $(x , y)=(0 , 2),(0 ,-2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 29-08-2014 - 21:16

[huy2403exo]

Bạn ơi phương trình có 2 nghiệm $(x , y)=(0 , 2),(0 ,-2)$

à quên cách trên áp dụng với x dương , còn chặn x thì bạn trên làm rồi