1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
#1
Đã gửi 27-08-2014 - 01:51
- nguyenhongsonk612 yêu thích
#2
Đã gửi 27-08-2014 - 05:00
1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$
1,$a,b,c>0$ nữa chứ nhỉ
2,hình như là $a^2b$ thì phải
- nguyenhongsonk612 yêu thích
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
#3
Đã gửi 09-12-2014 - 16:58
Problem 1:
$$f(x,y,z)=\sum \frac{1}{x^2}-2\sum x$$
$$f(x,y,z)-f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})=\frac{(y-z)^2}{(yz)^2}-2\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2 \geqslant 0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{y}-\sqrt{z})^2\left[\frac{y+z+2\sqrt{yz}}{(yz)^2}-2\right] \geqslant 0$$
Let $yz\leqslant 1$ then $\frac{y+z+2\sqrt{yz}}{(yz)^2} \geqslant \frac{4\sqrt{yz}}{(yz)^2} \geqslant 4$
Let $y=z$ and $x\geqslant 1$:
$$f(x,y,z)=\dfrac{2x^4-2x^3+3x^2-4x+1}{x^2} = \frac{(2x^3+3x-1)(x-1)}{x^2} \geqslant \frac{4(x-1)}{x^2} \geqslant 0$$
- chardhdmovies yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#4
Đã gửi 12-12-2014 - 23:21
cách 2 cho bài 1 rất ngắn gọn
giả sử trong 3 số abc có 2 số a và b cùng phía với 1 khi đó ab+1 >= a+b tức là a+b <= 1/c+1
do vậy ta chỉ cần chứng minh
sigma 1/a^2 + 3>= 2/c +2c+2
áp dụng am gm 1/a^2+1/b^2 >= 2/ab =2c vậy ta chỉ cần cm 1/c^2 +3 >= 2/c +2 đúng theo am gm
- dogsteven yêu thích
#5
Đã gửi 12-12-2014 - 23:34
1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$
$1)$ Đặt $\begin{pmatrix} \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x;y;z \end{pmatrix}\Rightarrow xyz=1$
BĐT cần C/m tương đương với $x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$ $(*)$
Đây là $1$ kết quả quen thuộc. Có thể chứng minh như thế này
Theo nguyên lý Đirichlet thì tồn tại ít nhất trong $3$ số $x-1;y-1;z-1$ $2$ số cùng dấu. Giả sử đó là $x-1;y-1$ $\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq xz+yz-z$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$
Cần C/m $x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\geq 2xy+2yz+2zx\Leftrightarrow (x-y)^2+(z-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
BĐT được C/m xong
Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-12-2014 - 23:46
- chardhdmovies yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#6
Đã gửi 12-12-2014 - 23:40
#7
Đã gửi 12-12-2014 - 23:45
1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$
Bài $2$
Lời giải:
Xét tích $(1-a^3)(1-b^3)(1-c^3)\geq 0\Leftrightarrow 1+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-a^3-b^3-c^3\geq a^3b^3c^3\geq 0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3$
Với $a,b,c \in [0;1]$ thì ta có nhận xét sau $a^3 \leq a$
$\Rightarrow 1+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$
$\Rightarrow$ Đpcm
Dấu "=" $\Leftrightarrow$ có $2$ số bằng $1$, một số bằng $0$ hoặc hai số bằng $0$, một số bằng $1$
-------------------------------
Trình bày ra cho mọi người cùng xem đi cậu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-12-2014 - 23:50
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh