Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$
$\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$
#1
Đã gửi 31-08-2014 - 17:49
#2
Đã gửi 18-09-2014 - 16:26
$f(a)=\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}}$
$f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a(8b+c)}}$
$f'(\dfrac{8b+c}{9})=\dfrac{3}{2(8b+c)}$
$f(\dfrac{8b+c}{9})=\dfrac{1}{3}$
Ta sẽ chứng minh: $\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}} \ge \dfrac{3a}{2(8b+c)}+\dfrac{1}{6}$
Áp dụng vào: $VT \geqslant \dfrac{3}{2}(\dfrac{a}{8b+c}+\dfrac{b}{8c+a}+\dfrac{c}{8a+b})+\dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{18(ab+bc+ca)}+\dfrac{1}{2}\ge 1$
Anh chị xem lại cái BDT trên có đúng không đã, em lười chứng minh lắm
- chardhdmovies yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 20-09-2014 - 16:47
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$
Đặt $a=x^2,b=y^2,c=z^2(x,y,z)>0$.Bất đẳng thức cần phải chứng minh
<=>$\sum \frac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}\geq 1$
Áp dụng bđt svát ta có:$\sum \frac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x\sqrt{8y^2+z^2}}$
Do đó ta phải chứng minh:$(x+y+z)^2\geq \sum x\sqrt{8y^2+z^2}$
Xét 2 trường hợp
Trường hợp 1:
Nếu $x\geq y\geq z$ xét hàm số :$f(x)=VT-VP$ ta có:
$f'(x)=2(x+y+z)-\sqrt{8y^2+z^2}-\frac{xy}{\sqrt{x^2+8z^2}}-\frac{8xz}{\sqrt{8x^2+y^2}}$
$f"(x)=2-\frac{8yz^2}{(x^2+8z^2)^{3/2}}-\frac{8y^2z}{(8x^2+y^2)^(3/2}\geq 2-\frac{8yz^2}{(y^2+8z^2)^{3/2}}-\frac{8y^2z}{(8y^2+y^2)^{3/2}}=2-\frac{8z}{27y}-\frac{8yz^2}{(y^2+8z^2)^{3/2}}\geq 0$
Suy ra $f"(x)$ đồng biến do đó
$f'(x)\geq f"(x)=4y-\frac{2}{3}z-\sqrt{8y^2+z^2}-\frac{y^2}{\sqrt{y^2+8z^2}}\geq 0$
Do đó:$f(x)$ đồng biến.Từ đó:$f(x)\geq f(y)=4y^2+yz+z^2-y\sqrt{8y^2+z^2}-z\sqrt{y^2+8z^2}\geq 0$
Trường hợp 2:
Nếu $z\geq y\geq x$ xét hàm số $F(z)=VT-VP$ ta có:
$F'(z)=2(x+y+z)-\sqrt{8x^2+y^2}-\frac{8yz}{\sqrt{8z^2+x}-\frac{xz}\sqrt{z^2+8y^2}}$
$F"(z)=2-\frac{8x^2y}{(8z^2+x^2)^{3/2}}-\frac{8xy^2}{(z^2+8y^2)^{3/2}}\geq 2-\frac{8x^2y}{(8y^2+x^2)^{3/2}}-\frac{8xy^2}{(y^2+8y^2)^{3/2}}=2-\frac{8x}{27y}-\frac{8x^2y}{(8y^2+x^2)^{3/2}}\geq 0$^2}}$
Suy ra:$F'(z)$ đồng biến do đó:
$F'(z)\geq F'(y)=4y+\frac{5}{3}x-\sqrt{8x^2+y^2}-\frac{8y^2}{\sqrt{x^2+8y^2}}\geq 0$
Từ đó :$F(z)$ đồng biến vậy có:
$F(z)\geq F(y)=x^2+xy+4y^2-y\sqrt{x^2+8y^2}-y\sqrt{8x^2+y^2}\geq 0$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=>Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 20-09-2014 - 18:29
- Vu Thuy Linh, HoangHungChelski, chardhdmovies và 3 người khác yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
#4
Đã gửi 09-12-2014 - 16:51
$$(a,b,c)=(x^2,y^2,z^2)$$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được:
$$\left(\sum \sqrt{\frac{x^2}{8y^2+z^2}}\right)\left(\sum x\sqrt{8y^2+z^2}\right) \geqslant (x+y+z)^2$$
Giờ cần chứng minh:
$$(x+y+z)^2\geqslant x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$
Dùng hệ số phụ để thiết lập, chứng minh:
$$\sqrt{8y^2+z^2} \leqslant 3y+z-\frac{3yz}{2y+z}$$
Ta quy về việc chứng minh:
$$3xyz\sum \frac{1}{2y+z}+\sum x^2-2\sum yz \geqslant 0$$
$$\sum \frac{1}{2y+z} \geqslant \frac{3}{x+y+z}$$
Vì vậy ta cần chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(xy+yz+zx)$$
Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-12-2014 - 14:56
- lahantaithe99, HoangHungChelski và chardhdmovies thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 09-12-2014 - 17:03
$$(a,b,c)=(x^2,y^2,z^2)$$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được:
$$\left(\sum \sqrt{\frac{x^2}{8y^2+z^2}}\right)\left(\sum x\sqrt{8y^2+z^2}\right) \geqslant (x+y+z)^2$$
Giờ cần chứng minh:
$$(x+y+z)^2\geqslant x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$
Dùng hệ số phụ để thiết lập, chứng minh:
$$\sqrt{8y^2+z^2} \leqslant 3y+z-\frac{3yz}{2y+z}$$
Ta quy về việc chứng minh:
$$3xyz\sum \frac{1}{2y+z}+\sum x^2-2\sum yz \geqslant 0$$
$$\sum \frac{1}{2y+z} \geqslant \frac{3}{x+y+z}$$
Vì vậy ta cần chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(x+y+z)$$
Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.
Spam tí: Vừa chiều nay trong giờ học hình em cũng vừa nghĩ ra cách y hệt anh =)) Đang định post thì....
- nguyenhongsonk612 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh