1 reply to this topic

[LNH]

Cho $n$ là số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng:

$\left | \left \{ \left ( x,y \right )  \in \mathbb{Z}^2 \mid x^2+y^2=n \right \} \right |=4\left ( d_1\left ( n \right )-d_3\left ( n \right ) \right )$

($d_i\left ( n \right )$ là số các ước dương của $n$ đồng dư với $i$ mod $4$ )

Edited by LNH, 01-09-2014 - 20:29.

[bossulan239]

Đây là 1 định lý quen thuộc của Jacobi.

Mình gợi ý như sau:

Xét phân tích của $n=2^{a}\prod p_{i}^{a_{i}}\prod q_{i}^{b_{i}}$ trong đó $p_{i}$ là các số nguyến tố dạng 4k+1, $q_{i}$ là các số nguyên tố dạng 4k+3 , $b_{i}$  chẵn với mọi i (cái này phải chứng minh)

Thì $4.(D_{1}-D_{3})=4\prod (a_{i}+1)$ (Mình sử lại kí hiệu cho giống với quốc tế .Họ hay dùng kí hiệu là $D_{1},D_{3}$)

Edited by bossulan239, 13-09-2014 - 22:13.