Chủ đề này có 1 trả lời

[zipienie]

Giải phương trình:

$$\sqrt{x+{{a}^{2}}}+\sqrt{x+{{b}^{2}}}=\sqrt{x+{{c}^{2}}}+\sqrt{x+{{d}^{2}}}$$
Với  $ b>d>c>a>0; a+b=c+d$

[chardhdmovies]

Giải phương trình:

$$\sqrt{x+{{a}^{2}}}+\sqrt{x+{{b}^{2}}}=\sqrt{x+{{c}^{2}}}+\sqrt{x+{{d}^{2}}}$$
Với  $ b>d>c>a>0; a+b=c+d$

phương trình tương đương $a-\sqrt{x+a^2}+b-\sqrt{x+b^2}=c-\sqrt{x+c^2}+d-\sqrt{x+d^2}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+a^2}+a}+\frac{x}{\sqrt{x+b^2}+b}=\frac{x}{\sqrt{x+c^2}+c}+\frac{x}{\sqrt{x+d^2}+d}$

do đó $x=0$ là một nghiệm của phương trình

xét phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+a^2}+a}+\frac{1}{\sqrt{x+b^2}+b}=\frac{1}{\sqrt{x+c^2}+c}+\frac{1}{\sqrt{x+d^2}+d}$         $(*)$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+a^2}+a+\sqrt{x+b^2}+b}{(\sqrt{x+a^2}+a)(\sqrt{x+b^2}+b)}=\frac{\sqrt{x+c^2}+c+\sqrt{x+d^2}+d}{(\sqrt{x+c^2}+c)(\sqrt{x+d^2}+d)}$

$\Rightarrow (\sqrt{x+a^2}+a)(\sqrt{x+b^2}+b)=(\sqrt{x+c^2}+c)(\sqrt{x+d^2}+d)$

đặt $\left\{\begin{matrix} m=\sqrt{x+a^2}+a\\n=\sqrt{x+b^2}+b \\u=\sqrt{x+c^2}+c \\ v=\sqrt{x+d^2}+d \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m+n=u+v\\mn=uv \end{matrix}\right.$

do đó $(m,n)$ và $(u,v)$ đều là cặp nghiệm của phương trình $t^2-St+P=0$$($ với $S=m+n=u+v,P=mn=uv$$)$

do đó $(m,n)$ là một hoán vị của $(u,v)$ nên $(*)$ là điều hiển nhiên

vậy $\boxed{x=0}$

 

NTP