5 replies to this topic

[tthandb]

Cho $a,b,c>0$, $abc=1$. CMR: $\frac{1}{\sqrt{a^5-a^3+3ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^5-b^3+3bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^5-c^3+3ca+6}}\leq 1$

 

Cho $a,b,c>0$, $a\neq b\neq c$. CMR: $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}$

 

Cho $a,b,c\in R$, $a\neq b\neq c$. CMR:$\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}+\frac{1+c^2a^2}{(c-a)^2}\geq \frac{3}{2}$

 

[lahantaithe99]

 

 

 

2.Cho $a,b,c>0$, $a\neq b\neq c$. CMR: $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}$

 

Đề bài có vấn đề gì không nhỉ??

 

 

$Vt=\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\sum (\frac{c}{a-b})^2=M+N$

 

Ta có

 

$2M=\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3$

 

Nếu đặt $(\frac{a+b}{a-b},...)=(x,y,z)$

 

Ta có đẳng thức là : $xy+yz+xz=-1$

 

Khi đó $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\geqslant -2(xy+yz+xz)=2$

 

Do đó $2M\geqslant 2+3=5\rightarrow M\geqslant \frac{5}{2}$

 

$N=\sum (\frac{c}{a-b})^2$

 

Tương tự như cách tìm GTNN của $M$ ta cũng thu được $N\geqslant 2$

 

Do đó $Vt\geqslant \frac{9}{2}$

[lahantaithe99]

 

 

3.Cho $a,b,c\in R$, $a\neq b\neq c$. CMR:$\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}+\frac{1+c^2a^2}{(c-a)^2}\geq \frac{3}{2}$

 

 

 

 $2Vt=\sum \frac{2(1+a^2b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(1+ab)^2+(1-ab)^2}{(a-b)^2}$

 

Với cách biến dổi tương tự bài $2$ thì ta có$\sum (\frac{1-ab}{a-b})^2\geqslant 2$

 

Mặt khác:

 

$\sum \frac{(ab+1)(bc+1)}{(a-b)(b-c)}=1$ và áp dụng BĐT dạng $x^2+y^2+z^2\geqslant xy+yz+xz$ thì

 

$\sum (\frac{ab+1}{a-b})^2\geqslant 1\Rightarrow Vt\geqslant \frac{3}{2}$

 

 

Edited by lahantaithe99, 05-09-2014 - 18:24.

[chardhdmovies]

Ta có $\sum a^{2}\geq \frac{(\sum a)^{2}+\sum(a-b)^2}{3}\geq \frac{\sum(a-b)^{2}}{3}$

Đặt $a-b=x;b-c=y=>c-a=x+y$

Ta sẽ chứng minh $(x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}})\geq \frac{27}{2}<=>(x^{2}+y^{2}+xy)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}})\geq \frac{27}{4}(1)$

Lại có $x^{2}+y^{2}+xy\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2};\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}} \geq\frac{2}{xy}+\frac{1}{(x+y)^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}}=\frac{9}{(x+y)^{2}}$

Nhân vế theo vế của $2$ bất đẳng thức trên ta có $Q.E.D$ của $(1)$,từ đó suy ra $Min$ của biểu thức là $\frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=-b$,$c=0$ $Q.E.D$

A-Q:)

bài gần giống đề quốc gia 2008 nha

Edited by chardhdmovies, 03-09-2014 - 12:04.

[tthandb]

Ta có $\sum a^{2}\geq \frac{(\sum a)^{2}+\sum(a-b^{2})}{3}\geq \frac{\sum(a-b)^{2}}{3}$

Đặt $a-b=x;b-c=y=>c-a=x+y$

Ta sẽ chứng minh $(x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}})\geq \frac{27}{2}<=>(x^{2}+y^{2}+xy)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}})\geq \frac{27}{4}(1)$

Lại có $x^{2}+y^{2}+xy\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2};\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}} \geq\frac{2}{xy}+\frac{1}{(x+y)^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(x+y)^{2}}=\frac{9}{(x+y)^{2}}$

Nhân vế theo vế của $2$ bất đẳng thức trên ta có $Q.E.D$ của $(1)$,từ đó suy ra $Min$ của biểu thức là $\frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=-b$,$c=0$ $Q.E.D$

A-Q:)

bài gần giống đề quốc gia 2008 nha

 

 

$Vt=\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\sum (\frac{c}{a-b})^2=M+N$

 

Ta có

 

$2M=\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3$

 

Nếu đặt $(\frac{a+b}{a-b},...)=(x,y,z)$

 

Ta có đẳng thức là : $xy+yz+xz=-1$

 

Khi đó $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\geqslant -2(xy+yz+xz)=2$

 

Do đó $2M\geqslant 2+3=5\rightarrow M\geqslant \frac{5}{2}$

 

$N=\sum (\frac{c}{a-b})^2$

 

Tương tự như cách tìm GTNN của $M$ ta cũng thu được $N\geqslant 2$

 

Do đó $Vt\geqslant \frac{9}{2}$

VP không sai đâu, đúng $\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$ mà.

Nghe thấy thầy gợi ý là dùng bổ đề $\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$

[tthandb]

$Vt=\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\sum (\frac{c}{a-b})^2=M+N$

 

Ta có

 

$2M=\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3$

 

Nếu đặt $(\frac{a+b}{a-b},...)=(x,y,z)$

 

Ta có đẳng thức là : $xy+yz+xz=-1$

 

Khi đó $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\geqslant -2(xy+yz+xz)=2$

 

Do đó $2M\geqslant 2+3=5\rightarrow M\geqslant \frac{5}{2}$

 

$N=\sum (\frac{c}{a-b})^2$

 

Tương tự như cách tìm GTNN của $M$ ta cũng thu được $N\geqslant 2$

 

Do đó $Vt\geqslant \frac{9}{2}$

$a,b,c > 0$ thì GTNN k là 9/2 đc đâu.