Chủ đề này có 13 trả lời

[Juliel]

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}+\sqrt[7]{\dfrac{b^7+c^7}{2}}+\sqrt[7]{\dfrac{c^7+a^7}{2}}\leq \left ( a+b+c \right )^{10}\left ( \dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{9b}+\dfrac{1}{9c} \right )^9$$

 

Chế trong giờ học Tổ   

 

[hoangtubatu955]

tớ chưa biết làm cậu này sao, nhưng với $VT$ như thế thì tớ có một kết quả thế này:
$ \sum \sqrt{\frac{a^7+b^7}{2}} \le \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$.
Không biết trong 2 cái thì cái này mạnh hơn nhỉ?

[Juliel]

tớ chưa biết làm cậu này sao, nhưng với $VT$ như thế thì tớ có một kết quả thế này:
$ \sum \sqrt{\frac{a^7+b^7}{2}} \le \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$.
Không biết trong 2 cái thì cái này mạnh hơn nhỉ?

VT giống vs cái BĐT trong topic mà HoangTung 126 đưa lên VMF . Tớ cũng chưa biết cái nào mạnh hơn nhưng có 1 cái thì cũng ko thể suy ra cái còn lại =)))

[Hoang Tung 126]

VT giống vs cái BĐT trong topic mà HoangTung 126 đưa lên VMF . Tớ cũng chưa biết cái nào mạnh hơn nhưng có 1 cái thì cũng ko thể suy ra cái còn lại =)))

Thế cậu đã làm được bài này chưa, tớ thấy BDT khá mạnh,cậu nên cho VP là $(a+b+c)^{125}(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c})^{117}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 04-09-2014 - 19:09

[Hoang Tung 126]

VT giống vs cái BĐT trong topic mà HoangTung 126 đưa lên VMF . Tớ cũng chưa biết cái nào mạnh hơn nhưng có 1 cái thì cũng ko thể suy ra cái còn lại =)))

Để chứng minh BDT tớ đưa ra thì phải CM nó mạnh lên là $\sum \sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}$

[Juliel]

Để chứng minh BDT tớ đưa ra thì phải CM nó mạnh lên là $\sum \sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}$

Liệu bất đẳng thức đó đúng với $n$ tùy ý không nhỉ Tớ có lên AoPS hỏi với $n=5$ thì người ta cũng đưa ra BĐT với $n=8$ như cậu http://www.artofprob...593774#p3593774

[Hoang Tung 126]

Liệu bất đẳng thức đó đúng với $n$ tùy ý không nhỉ Tớ có lên AoPS hỏi với $n=5$ thì người ta cũng đưa ra BĐT với $n=8$ như cậu http://www.artofprob...593774#p3593774

Chứng minh n=8 dễ mà cậu.

[Juliel]

Chứng minh n=8 dễ mà cậu.

Cậu chứng minh giùm tớ tại topic này luôn nhé  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-09-2014 - 18:52

[Hoang Tung 126]

Cậu chứng minh giùm tớ tại topic này luôn nhé  

Sử dụng AM-GM cho 8 số ta có :

 $\frac{a^2-ab\sqrt{2+\sqrt{2}}+b^2}{b(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}+\frac{a^2+ab\sqrt{2+\sqrt{2}}+b^2}{b(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})}+\frac{a^2-ab\sqrt{2-\sqrt{2}}+b^2}{b(2-\sqrt{2-\sqrt{2}})}+\frac{a^2+ab\sqrt{2+\sqrt{2}}+b^2}{b(2+\sqrt{2-\sqrt{2}})}+b+b+b+b$
$\geq 8\sqrt[8]{\frac{(a^2-ab\sqrt{2+\sqrt{2}}+b^2)(a^2+ab\sqrt{2+\sqrt{2}}+b^2)(a^2-ab\sqrt{2-\sqrt{2}}+b^2)(a^2+ab\sqrt{2+\sqrt{2}}+b^2).b.b.b.b}{b^4(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2-\sqrt{2}})(2+\sqrt{2-\sqrt{2}})}}$
$=8\sqrt[8]{\frac{(a^4+b^4-a^2b^2\sqrt{2})(a^4+b^4+a^2b^2\sqrt{2})}{2}}=8\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}$

Lập các BDT tương tự rồi cộng theo vế và thu gọn ta được ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 04-09-2015 - 14:29

[Hoang Tung 126]

Liệu bất đẳng thức đó đúng với $n$ tùy ý không nhỉ Tớ có lên AoPS hỏi với $n=5$ thì người ta cũng đưa ra BĐT với $n=8$ như cậu http://www.artofprob...593774#p3593774

Bậc n thì mình chưa CM được mình chỉ CM được nó đúng đến bậc 10 thôi .Chắc là dùng quy nạp

[Viet Hoang 99]

http://julielltv.wor...inequality-118/

Hằng đẳng thức ác thật

[Hoang Tung 126]

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\sqrt[7]{\dfrac{a^7+b^7}{2}}+\sqrt[7]{\dfrac{b^7+c^7}{2}}+\sqrt[7]{\dfrac{c^7+a^7}{2}}\leq \left ( a+b+c \right )^{10}\left ( \dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{9b}+\dfrac{1}{9c} \right )^9$$

 

Chế trong giờ học Tổ   

    

 Ta đã CM được $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}$

 

Do đó cần CM :$(\sum a)^{10}(\sum \frac{1}{9a})^9\geq \sum \frac{a^2}{b}$

Theo AM-GM có $(\sum a)^{10}(\sum \frac{1}{9a})^9=\frac{1}{9^{9}}(\sum a)^{10}(\sum \frac{1}{a})^9\geq \frac{1}{9^{9}}(\sum a)^{10}(\frac{3}{\sqrt[3]{abc}})^{9}=\frac{(\sum a)^{10}}{3^{9}(abc)^{3}}$  (1)

 

 Mặt khác  $abc(\sum a)(\sum a^2)\leq \frac{(\sum ab)^2}{3}(\sum a^2)\leq \frac{1}{3}.\frac{(\sum a^2+\sum ab +\sum ab)^3}{27}=\frac{(\sum a^2+2\sum ab)^3}{3^{4}}=\frac{(\sum a)^6}{3^{4}}= > (\sum a)^5\geq 3^{4}abc(\sum a^2)= > (\sum a)^{10}\geq 3^{8}(abc)^2(\sum a^2)^2= > \frac{(\sum a)^{10}}{3^{9}(abc)^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{3abc}$  (2)

Từ (1),(2) $= > (\sum a)^{10}(\sum \frac{1}{9a})^{9}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{abc}$

   Để hoàn tất bài toán ta đi CM : $\frac{(\sum a^2)^2}{3abc}\geq \sum \frac{a^2}{b}=\frac{ab^3+a^3c+bc^3}{abc}$

$< = > (\sum a^2)^2\geq 3(ab^3+bc^3+ca^3)$
$< = > 2\sum a^4+4\sum a^2b^2-6\sum ab^3\geq 0$

   $< = > \sum (a^2-ac+2bc-c^2-ab)^2\geq 0$ (Luôn đúng)

 

  Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 04-09-2015 - 14:00

[Hoang Tung 126]

 Nhờ mod sao chép lại bài này

[Hoang Tung 126]

Nhờ mod sao chép lại