Chủ đề này có 3 trả lời

[Trang Luong]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O;R)$ và trọng tâm $G$ . Chứng minh :

• $R^2-OG^2=\frac{1}{9}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$ với %a,b,c$ là độ dài các cạnh của tam giác.
• $cosB.cosC+cosA\geq sinB.sinC$

P/s: 2 phần không liên quan tới nhau .M.n làm phần nào cũng được

[demon311]

Chém câu dễ trước:

 

$2\cos B \cos C +2\cos A = 2\sin B \sin C$

 

$\cos (B-C) + \cos (B+C)+2\cos A = \cos (B-C) - \cos (B+C) $

 

$2\cos A = -2\cos (B+C)$

 

$2\cos A =-2\cos (\pi-A)=-2\cos (B+C) \ \ \ \ \rightarrow \text{luôn đúng}$

[Bonjour]

CÁCH 1: Gọi AA' là trung tuyến $\Delta$ ABC ( $A' \in BC$ ) .G là trọng tâm và O là tâm ngoại tiếp $\Delta$ ABC
Áp dụng định lý Stewart cho $\Delta$ OAA' :
$OG^{2}.AA'=OA^{2}.GA'+OA'^{2}.AG-AG.GA'.AA' \Leftrightarrow OG^{2}=\frac{OA^{2}.GA'}{AA'}+\frac{OA'^{2}.AG}{AA'}-AG.GA'$
Ta có : $OA'^{2}=OC^{2}-CA'^{2}=R^{2}-\frac{a^{2}}{4}$ và công thức trung tuyến $AA'^{2}=m_{a}^{2}=\frac{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$
Vì $AG=\frac{2}3{}.AA'$ và $GA'=\frac{1}{3}.AA'$ nên :
$OG^{2}=\frac{R^{2}}{3}+\frac{4R^{2}-a^{2}}{6}-\frac{2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{18}=R^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}$


Cách 2 : Ta có: $2.\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})^{2}=2R^{2}-\overrightarrow{AB}^{2}=2R^{2}-c^{2}$
Tương tự : $2.\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=2R^{2}-b^{2}$ và $2.\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=2R^{2}-a^{2}$
Mặt khác: $3.\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
Bình phương vô hướng 2 vế ta được :
$9.OG^{2}=OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB})=3R^{2}+(2R^{2}-a^{2})+(2R^{2}-b^{2})+(2R^{2}-c^{2})=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-09-2014 - 13:37

[Viet Hoang 99]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O;R)$ và trọng tâm $G$ . Chứng minh :

• $R^2-OG^2=\frac{1}{9}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$ với %a,b,c$ là độ dài các cạnh của tam giác.
• $cosB.cosC+cosA\geq sinB.sinC$

P/s: 2 phần không liên quan tới nhau .M.n làm phần nào cũng được

Biến $OH$ theo $OG$ là ta có http://diendantoanho...2-9r2-a2-b2-c2/ (PSW)