Chủ đề này có 4 trả lời

[phucryangiggs11]

Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{(x+y)^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{5}{8}$

 

@MOD: Phải rút gọn tiêu đề tối đa có thể (nhưng vẫn phải đúng quy định) . Chỉ cần viết bđt vào tiêu đề, bỏ chữ chứng minh đi là rút gọn được rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-09-2014 - 20:59

[chardhdmovies]

Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{(x+y)^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{5}{8}$

 

@MOD: Phải rút gọn tiêu đề tối đa có thể (nhưng vẫn phải đúng quy định) . Chỉ cần viết bđt vào tiêu đề, bỏ chữ chứng minh đi là rút gọn được rồi!

bđt tương đương $\frac{x^4+y^4}{(x+y)^4}-\frac{1}{8}\geq \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(5x^2+6xy+5y^2)}{8(x+y)^4}\geq \frac{(x-y)^2}{2(x+y) (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}$

giờ ta sẽ chỉ ra $\frac{5x^2+6xy+5y^2}{8(x+y)^4}>\frac{1}{2(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}$

$\Leftrightarrow (5x^2+6xy+5y^2)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2>4(x+y)^3$

$\Leftrightarrow (\frac{5x}{y}+6+\frac{5y}{x})(\sqrt{\frac{x}{y}}+2+\sqrt{\frac{y}{x}})>(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}})^3$

đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\geq 2$ thì ta sẽ chứng minh $(5t^2-4)(t+2)>4t^3$

$\Leftrightarrow t^3+10t^2-4t-8>0$

điều này luôn đúng do $t^3+10t^2-4t-8=(t^3-8)+10(t^2-2t)+16t>0$

do đó ta có đpcm

 

                                                                                   NTP

[phan huong]

bđt tương đương $\frac{x^4+y^4}{(x+y)^4}-\frac{1}{8}\geq \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(5x^2+6xy+5y^2)}{8(x+y)^4}\geq \frac{(x-y)^2}{2(x+y) (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}$

giờ ta sẽ chỉ ra $\frac{5x^2+6xy+5y^2}{8(x+y)^4}>\frac{1}{2(x+y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}$

$\Leftrightarrow (5x^2+6xy+5y^2)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2>4(x+y)^3$

$\Leftrightarrow (\frac{5x}{y}+6+\frac{5y}{x})(\sqrt{\frac{x}{y}}+2+\sqrt{\frac{y}{x}})>(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}})^3$

đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\geq 2$ thì ta sẽ chứng minh $(5t^2-4)(t+2)>4t^3$

$\Leftrightarrow t^3+10t^2-4t-8>0$

điều này luôn đúng do $t^3+10t^2-4t-8=(t^3-8)+10(t^2-2t)+16t>0$

do đó ta có đpcm

 

                                                                                   NTP

hình như bài này bạn làm nhầm đề thì phải  $\frac{x^4+y^4}{(x+y)^2}$ chứ đâu phải  $\frac{x^4+y^4}{(x+y)^4}$

[dogsteven]

Đề là $\dfrac{x^4+y^4}{(x+y)^4}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y} \geqslant \dfrac{5}{8}$ mới đúng.

 

BDT thuần nhất, chuẩn hóa $x+y=2$

 

Bất đẳng thức trở thành: $x^4+y^4+8\sqrt{xy} \geqslant 10$

 

$x^4+y^4=\left (x^2+y^2 \right )^2-2x^2y^2=\left [(x+y)^2-2xy \right ]^2-2x^2y^2=(4-2xy)^2-2x^2y^2=2x^2y^2-16xy+16$

 

Đặt $t=\sqrt{xy}\;\;\;(t\in \left(0; 1 \right])$

 

Bất đẳng thức trở thành: $2t^4-16t^2+8t+6 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow (t-1)(t+3)(t^2-2t-1) \geqslant 0$ (đúng)

 

BDT được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi $x=y >0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 22-09-2014 - 14:14

[chardhdmovies]

hình như bài này bạn làm nhầm đề thì phải  $\frac{x^4+y^4}{(x+y)^2}$ chứ đâu phải  $\frac{x^4+y^4}{(x+y)^4}$

mình thấy bài này tác giả đăng mấy lần là mũ $4$ nên chả để ý cái này mà giả sử là mũ $2$ thì không đồng bậc thì làm sao tìm được GTNN

 

NTP