Chủ đề này có 2 trả lời

[anhswt4857]

$a;b;c$ dương.

 

CMR: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

[quangnghia]

$a;b;c$ dương.

 

CMR: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

Ta có $\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2}$

$\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2}$

$\frac{c^{3}}{a}+ca\geq 2c^{2}$

Cộng theo vế ta được$\sum \frac{a^{3}}{b}\geq 2\sum a^{2}-\sum ab\geq 2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca$       (1)

Ta lại có

$ab+bc\geq 2b\sqrt{ac}$

$bc+ca\geq 2c\sqrt{ba}$

$ca+ab\geq 2a\sqrt{bc}$

Cộng theo vế ta được $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$                 (2)

Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh

[datmc07061999]

$a;b;c$ dương.

 

CMR: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}$

 

Ta có $\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2}$

$\frac{b^{3}}{c}+bc\geq 2b^{2}$

$\frac{c^{3}}{a}+ca\geq 2c^{2}$

Cộng theo vế ta được$\sum \frac{a^{3}}{b}\geq 2\sum a^{2}-\sum ab\geq 2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca$       (1)

Ta lại có

$ab+bc\geq 2b\sqrt{ac}$

$bc+ca\geq 2c\sqrt{ba}$

$ca+ab\geq 2a\sqrt{bc}$

Cộng theo vế ta được $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$                 (2)

Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh

Anh Quangnghia xem lại đề bài nha...

  Ta có: $a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ac}{2}\leq \sum a^{2}$

  Lại có: $\frac{a^3}{b}+ab+\frac{b^3}{c}+bc+\frac{c^3}{a}+ca\geq 2\sum a^{2}\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq \sum a^{2}$.

   $\Rightarrow $ đpcm 

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...