Chủ đề này có 5 trả lời

[shinichigl]

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA

Khóa ngày 18 tháng 9 năm 2012

MÔN TOÁN (Vòng II)

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Câu 1. (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right )                    (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0     (2) & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.

 

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, nằm trên một đoạn $\Delta$ có độ dài bằng $2$, với $n\geq 2$. Chứng minh rằng:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq \sqrt{x_{1}x_{2}+1}+\sqrt{x_{2}x_{3}+1}+...+\sqrt{x_{n}x_{1}+1}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+n$.

 

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho các dãy số $\left ( a_{n} \right )$ và $\left ( b_{n} \right )$ thõa mãn các điều kiện: $a_{1}=1,b_{1}=2$ thì

$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1}=\frac{1+b_{n}+a_{n}b_{n}}{a_{n}}$

Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$.

 

Câu 5. (4,0 điểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên có $2013$ chữ số mà số các chữ số $0$ xuất hiện là chẵn?

 

P\s: Mình không chắc đề Câu 4 lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 07-09-2014 - 20:33

[Juliel]

 

Câu 2. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.

$$OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2=9.\left ( \dfrac{a}{2sinA} \right )^2-a^2-b^2-c^2=2a^2-b^2-c^2=2\left ( b^2+c^2-2bc.cosA \right )-b^2-c^2=(b+c)^2\Rightarrow OH=b+c$$

[Bui Ba Anh]

5)Dễ thấy số số tự nhiên thỏa đề(tính cả trường hợp 0 đứng đầu số) là $A=\sum10^{2013-2k}C_{2013}^{2k}(k=1->1006)$

Ta phải trừ đi các số có bắt đầu là 0,số này tạo bởi việc thiết lập số có 2012 chữ số,trong đó có số lẻ số 0(không nhất thiết 0 đứng đầu).Cuối cùng thêm 0 vào trước đó,vậy ta sẽ có $B=\sum 10^{2011-2m}C_{2012}^{2m+1}(m=0;1005)$

Số số thỏa đề là A-B

Áp dụng nhị thức Newton $(10+1)^{2013}=10^{2013-k}.C_{2013}^{k}(k=0;2013),(10-1)^{k}=10^{2013-k}(-1)^{k}C_{2013}^{k}=>10^{2013-2k}.C_{2013}^{2k}=\frac{11^{2013}+9^{2013}}{2}$

$B=\frac{11^{2012}+9^{2012}}{2}$

Vậy số cách chọn thỏa đề $\frac{11^{2013}+9^{2013}-11^{2012}-9^{2012}}{2}$

A-Q:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 07-09-2014 - 21:50

[Shiprl]

 mod xóa post hộ!! cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shiprl: 07-09-2014 - 21:58

[Bui Ba Anh]

1) HPT $<=> \left\{\begin{matrix} 3x^{2}-y^{2}-2xy=2y\\3\frac{y^{2}}{x^{2}} =3y-x-2\frac{y^{2}}{x} \end{matrix}\right.$

$=>9y^{2}-3\frac{y^{4}}{x^{2}}-6\frac{y^{3}}{x}=6y^{2}-2xy-4\frac{y^{3}}{x}<=>3y^{2}-2\frac{y^{3}}{x}-3\frac{y^{4}}{x^2}+2xy=0<=>3y^{4}+2xy^{3}-3x^{2}y^{2}-2x^{3}y=0<=>y(x-y)(x+y)(3y+2x)=0$

$...........$

Thử lại ..............

A-Q:)

[phatthemkem]

 

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA

Khóa ngày 18 tháng 9 năm 2012

MÔN TOÁN (Vòng II)

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Câu 1. (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right )                    (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0     (2) & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.

 

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, nằm trên một đoạn $\Delta$ có độ dài bằng $2$, với $n\geq 2$. Chứng minh rằng:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq \sqrt{x_{1}x_{2}+1}+\sqrt{x_{2}x_{3}+1}+...+\sqrt{x_{n}x_{1}+1}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+n$.

 

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho các dãy số $\left ( a_{n} \right )$ và $\left ( b_{n} \right )$ thõa mãn các điều kiện: $a_{1}=1,b_{1}=2$ thì

$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1}=\frac{1+b_{n}+a_{n}b_{n}}{a_{n}}$

Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$.

 

Câu 5. (4,0 điểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên có $2013$ chữ số mà số các chữ số $0$ xuất hiện là chẵn?

 

P\s: Mình không chắc đề Câu 4 lắm

 

Câu 4 có vấn đề

Từ giả thiết ta có: $$\left\{\begin{matrix} a_{n+1}b_n=1+a_n+a_nb_n\\ a_nb_{n+1}=1+b_n+a_nb_n \end{matrix}\right.$$

Trừ theo vế $\Rightarrow b_n\left ( a_{n+1}+1 \right )=a_n\left ( b_{n+1}+1 \right )$

Tương đương với $\frac{a_{n+1}+1}{a_n}=\frac{b_{n+1}+1}{b_n}\Leftrightarrow a_n=b_n$

Nhưng $a_1\neq b_1$...