KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA
Khóa ngày 18 tháng 9 năm 2012
MÔN TOÁN (Vòng II)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2y=\left ( x-y \right )\left ( y+3x \right ) (1) & \\ 3\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y^{2}}{x}+x-3y=0 (2) & \end{matrix}\right.$
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=120^{o}$. Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến trực tâm của tam giác ABC bằng $AB+AC$.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho các số dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, nằm trên một đoạn $\Delta$ có độ dài bằng $2$, với $n\geq 2$. Chứng minh rằng:
$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq \sqrt{x_{1}x_{2}+1}+\sqrt{x_{2}x_{3}+1}+...+\sqrt{x_{n}x_{1}+1}\leq x_{1}+x_{2}+...+x_{n}+n$.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho các dãy số $\left ( a_{n} \right )$ và $\left ( b_{n} \right )$ thõa mãn các điều kiện: $a_{1}=1,b_{1}=2$ thì
$a_{n+1}=\frac{1+a_{n}+a_{n}b_{n}}{b_{n}},b_{n+1}=\frac{1+b_{n}+a_{n}b_{n}}{a_{n}}$
Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$.
Câu 5. (4,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có $2013$ chữ số mà số các chữ số $0$ xuất hiện là chẵn?
P\s: Mình không chắc đề Câu 4 lắm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 07-09-2014 - 20:33