1 reply to this topic

[tohoproirac]

với $x,y,z\geq 0$

$$CM \left ( xy+yz+zx \right ) \left ( \frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}} \right)$$$\geq 4$

[chardhdmovies]

với $x,y,z\geq 0$

$$CM \left ( xy+yz+zx \right ) \left ( \frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}} \right)$$$\geq 4$

không mất tính tổng quát gải sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}$

ta có $\sum \frac{1}{(x-y)^2}=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}\geq \frac{4}{(z-x)(z-y)}$

ta chứng minh $(z-x)(z-y)\leq xy+yz+zx\Leftrightarrow z(2x+2y-z)\geq 0$

điều này luôn đúng nên có đpcm

dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}y;z=0$ và các hoán vị

 

NTP