với $x,y,z\geq 0$
$$CM \left ( xy+yz+zx \right ) \left ( \frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}} \right)$$$\geq 4$
với $x,y,z\geq 0$
$$CM \left ( xy+yz+zx \right ) \left ( \frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}} +\frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}} \right)$$$\geq 4$
không mất tính tổng quát gải sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}$
ta có $\sum \frac{1}{(x-y)^2}=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}\geq \frac{4}{(z-x)(z-y)}$
ta chứng minh $(z-x)(z-y)\leq xy+yz+zx\Leftrightarrow z(2x+2y-z)\geq 0$
điều này luôn đúng nên có đpcm
dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}y;z=0$ và các hoán vị
NTP
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh