Chủ đề này có 5 trả lời

[thukilop]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG- HỘI AN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH 

 

Ngày thứ nhất (28/8/2014)

$\boxed{\text{Câu 1}}$ Giải phương trình:

$3^x.2x^3=3^x+2x^3+1$

 

$\boxed{\text{Câu 2}}$  Cho $a,b,c >0$ và $abc=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{2b^2+bc}+\frac{b^3}{2c^2+ac}+\frac{c^3}{2a^2+ab} \geq 1$

 

$\boxed{\text{Câu 3}}$

a) AD là phân giác trong của tam giác ABD. Chứng minh $AD^2=AB.AC-DB.DC$

b) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh $BC=a, CA=b,AB=c$. Kí hiệu $l_a$,$l_b$ là độ dài các đường phân giác trong của tam giác ABC ứng với các cạnh có độ dài a,b. Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì đề $\frac{l_a}{h_a}=\frac{l_b}{h_b}$???

 

$\boxed{\text{Câu 4}}$ Cho dãy ($u_n$) biết $u_0=0$,$u_1=2$ và $\frac{6u_{n-1}-u_{n+1}}{u_{n+1}-5u_n+6u_{n-1}}=n$ với mọi n >0. Tìm n đề $u_n=2n$

 

$\boxed{\text{Câu 5}}$  giả sử hàm $f: R --> R$ thỏa

$(x+y).f(x-y)=f(f(x))-y.f(y)$ với mọi x,y thuộc R. Tìm f?

 

Ngày thứ hai (10/9/2014)

$\boxed{\text{Câu 6}}$  Giải phương trình:

$2\sqrt{(2-lnx)(5-lnx)}=lnx+\sqrt{(2-x)(10-lnx)}$

 

$\boxed{\text{Câu 7}}$  Cho $a,b,c >0$ thỏa: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh $a+b+c \leq 1$

 

$\boxed{\text{Câu 8}}$  

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nhọn. Biết HA=1,HB=$\sqrt{2}$,HC=$\sqrt{5}$. Tính S(ABC)

b) Cho đoạn AH cố định, AH=1. Gọi d là đường thẳng qua H va vuông góc AH tại H. Trên d lấy 2 điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E,F là hình chiếu của H lên AB,AC. Chứng minh (EBCF) luôn đi qua 2 điểm cố định

 

$\boxed{\text{Câu 9}}$ 

 

a) Cho dãy ($x_n$) biết $x_n=n+a\sqrt{n^2+1}$ với n thuộc N, a thuộc R. Tìm ĐK của a để ($x_n$) là dãy tăng

 

b) Cho dãy ($u_n$) biết $u_0=1,u_1=2$ và $n.u_{n+1}-(n+1)u_n+u_{n-1}=0$ với $ n \geq 1$. Tính $[u_n]$

 

$\boxed{\text{Câu 10}}$  Cho $f: R--->R$ thỏa $f(1)=1$, $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$. Tìm n thuộc N sao cho $f(n)=n$ 

 

$\boxed{\text{Câu 11}}$  Tìm số phần tử của tập A gồm hữu hạn các số thực thỏa mãn tính chất : "Nếu x thuộc A thì $f(x)=x^3-3|x|+4$ cũng thuộc A"

p/s: hóng đề Chọn QG Đà Nẵng sáng mai   

[shinichigl]

$\boxed{\text{Câu 2}}$  Cho $a,b,c >0$ và $abc=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{2b^2+bc}+\frac{b^3}{2c^2+ac}+\frac{c^3}{2a^2+ab} \geq 1$

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ (do $abc=1$)

Bất đẳng thức được viết lại

$\sum \frac{\left (\frac{x^{2}z}{y^{2}} \right )^{2}}{2xy+z^{2}}\geq 1$

Ta có $\sum \frac{\left (\frac{x^{2}z}{y^{2}} \right )^{2}}{2xy+z^{2}}\geq \frac{\left ( \sum \frac{x^{2}z}{y^{2}} \right )^{2}}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$ (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân số)

Ta cần chứng minh $\sum \frac{x^{2}z}{y^{2}}\geq x+y+z$

Thật vậy, ta có $\frac{x^{2}z}{y^{2}}+\frac{y^{2}x}{z^{2}}+z\geq 3x$ (Bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương)

$\Rightarrow 2\sum \frac{x^{2}z}{y^{2}}+x+y+z\geq 3\left ( x+y+z \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{x^{2}z}{y^{2}}\geq x+y+z$

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 14-09-2014 - 15:36

[shinichigl]

$\boxed{\text{Câu 7}}$  Cho $a,b,c >0$ thỏa: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh $a+b+c \leq 1$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$ $\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq \sqrt{a+c}\geq \sqrt{b+c}$ (1)

Ta sẽ chứng minh $\frac{b}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{c}{\sqrt{a+b}}$

Thật vậy, ta có $\frac{b}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{c}{\sqrt{a+b}}\Leftrightarrow b\sqrt{a+b}\geq c\sqrt{c+a}\Leftrightarrow b^{3}+b^{2}a\geq c^{3}+c^{2}a$

$\Leftrightarrow \left ( b-c \right )\left ( b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \right )\geq 0$ (đúng)

Tương tự, suy ra $\frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{b}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{c}{\sqrt{a+b}}$ (2)

Từ (1) và (2), theo bất đẳng thức Chebyshev dạng phân số ta có $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq 3\frac{\sum a}{\sum \sqrt{b+c}}$

$\Rightarrow 3\frac{\sum a}{\sum \sqrt{b+c}}\leq \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \sum \sqrt{b+c}\geq \sqrt{6}\sum a$

$\Rightarrow \sum \sqrt{b+c}\geq \sqrt{6}\sum a\geq \frac{1}{\sqrt{6}}\left ( \sum \sqrt{b+c} \right )^{2}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{b+c}\leq \sqrt{6}$

$\Rightarrow \sum a\leq \frac{\sum \sqrt{b+c}}{\sqrt{6}}\leq 1$

Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 10-09-2014 - 22:41

[Trung Gauss]

Câu 3.a:

  Sử dụng định lý Steawart, ta có: $$AD^2.BC=AC^2.BD+AB^2.CD-BD.DC.BC\\\Leftrightarrow AD^2=\dfrac{AC^2.BD+AB^2.DC}{BC}-BD.DC$$ Bây giờ, ta sẽ chứng minh: $$\dfrac{AC^2.BD+AB^2.DC}{BC}=AB.AC\Leftrightarrow \dfrac{AC}{AB}.BD+\dfrac{AB}{AC}.DC=BC$$ Chú ý rằng: $$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD};\;\;\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CD}{BD}$$ Thay vào đẳng thức trên, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 11-09-2014 - 19:11

[Hoang Tung 126]

 

$\boxed{\text{Câu 5}}$  giả sử hàm $f: R --> R$ thỏa

$(x+y).f(x-y)=f(f(x))-y.f(y)$ với mọi x,y thuộc R. Tìm f?

    

 

-Cho $y=0= > xf(x)=f(f(x))$

 

-Thay vào đề bài $= > (x+y)f(x-y)=xf(x)-yf(y)$ (1)

 

-Đặt $g(x)=f(x)-f(0)= > g(0)=0$.Từ (1) $= > (x+y)g(x-y)=xg(x)-yg(y)$

 

-Cho $x$ bởi $-y$ $= > (-y+y)g(-y-y)=(-y)g(-y)-yg(y)=0= > g(-y)=-g(y)$ (2)

 

   Do đó hàm g là hàm lẻ

 

-Thay vào đề bài thay $y$ bởi $-y$ và sử dụng (2)

 $(x-y)g(x+y)=xg(x)+yg(-y)=xg(x)-yg(y)$ (3)

 

-Từ (1),(3) $= > (x+y)g(x-y)=(x-y)g(x+y)= > \frac{g(x+y)}{x+y}=\frac{g(x-y)}{x-y}=a= > g(x+y)=a(x+y)$

 

-Cho $y=0= > g(x)=ax$

 

-Từ đó $f(x)=g(x)+g(0)=ax+g(0)=ax+b$

 

            Vậy $f(x)=ax+b$

[Hoang Tung 126]

 

 

$\boxed{\text{Câu 10}}$  Cho $f: R--->R$ thỏa $f(1)=1$, $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1$. Tìm n thuộc N sao cho $f(n)=n$ 

 

                

 

     Chém luôn bài hàm ngày 2

 

-Cho $y=1= > f(x+1)-x-1=f(x)+f(1)=f(x)+1= > f(x+1)=f(x)+x+2$

 

-Cho $x=n= > f(n+1)=f(n)+n+2$

 

  Ta sẽ chứng minh quy nạp rằng $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}$ với mọi $n$ thuộc N

 

     Thật vậy,

 

+ Với $n=1= > f(2)=f(1)+1+2=4=\frac{2^2+3.2-2}{2}$

 

+ Với $n=2= > f(3)=f(2)+2+2=4+2+2=8=\frac{3^2+3.3-2}{2}$

 

+ Gỉa sử bài toân đúng đến $n=k$ $= > f(k)=\frac{k^2+3k-2}{2}$

 

  Ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$ với k thuộc N

 

  Ta có $f(k+1)=f(k)+k+2=\frac{k^2+3k-2}{2}+k+2=\frac{k^2+5k+2}{2}=\frac{(k+1)^2+3(k+1)-2}{2}$

 

   Do đó bài toán đúng với $n=k+1$

 

   Từ đó $f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}$

 

  Để $f(n)=n< = > n^2+3n-2=2n< = > n^2+n-2=0< = > n=1$

 

        Vậy $n=1$